1 . 观察实际情景，提出并分析问题
（1）实际情景
双十—就要到了，那时候大家都很忙，卖家搞促销，想赚更多的钱，买家想货比三家，买到物美价廉的商品，在这个交易过程中，快递不可或缺，你们有没有发现，商品都会被形形色色的盒子所包装，对于快递公司而言，包装同一个商品，用的材料越少越好，而给你一张硬纸片﹐制作出的盒子当然体积越大越好，这样制作非常环保．
（2）提出问题
一个边长为定值的正方形纸片按某种方式裁剪，做成一个无盖的方底纸盒，当盒底边长与高分别为多少时，盒子容积最大?最大容积是多少?
（3）分析问题
容积的计算依据裁剪的方法，由学生根据自己所学知识确定裁剪方法，确定剪裁方法后，我们可以通过长度关系，用未知数表示盒子容积，根据函数单调性求得容积最大时的相应的裁剪方法．
2．收集数据
现有一个面积为平方厘米的正方形纸板．
3．剪裁过程
裁剪方案1：去除如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得正方形的四个点重合于图中的点，正好形成一个长方体形状的包装盒．

裁剪方案2：如图所示，先在正方形的相邻两个角各切去边长为的正方形，然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起．

4．问题解决
裁剪方案1：设包装盒的高为，底面边长为，
则，，，
所以，；
可得，
当时，；当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
当时，取得极大值也是最大值：．
所以当时，包装盒的容积最大是．
裁剪方案2：因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，
所以包装盒的容积为，
函数的定义域为．
，
令，解得，
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
∴当时，函数取得极大值，也是函数的最大值，
所以．
比较两种模型，故选择裁剪方案1．
5．检验模型
两种最值的计算都是依据给定的裁剪方法，可能会有其他的裁剪方法，求得的容积可能会更大．
6．延伸拓展
请同学们集思广益，研究一下是否有其他裁剪方法，并计算出相应的容积的最大值．

2 . 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，设，，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.

(1)求A、B两点间的距离；
(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.

3 . 某个体户计划经销两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中，．已知投资额为零时收益为零．
（1）求的值；
（2）如果该个体户准备投入万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

4 . 某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）.
（1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）
（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.

5 . 某公司为了实现年销售利润万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额(单位：万元)随销售利润 (单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过万元，同时奖金数额不超过销售利润的.现有三个奖励模型：，，，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．
参考数据：，，

6 . 如图①，一条宽为1的两平行河岸有村庄和供电站，村庄与的直线距离都是2， 与河岸垂直，垂足为．现要修建电缆，从供电站向村庄供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元、4万元．
（1）已知村庄与原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值；
（2）如图②，点在线段上，且铺设电缆的线路为．若，试用表示出总施工费用 (万元)的解析式，并求的最小值．