解题方法
1 . 已知向量
满足
，
与
的夹角为
，则当实数
变化时，
的最小值为______ ．
满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为
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解题方法
2 . 已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则
的最小值是（ ）
的最小值是（ ）| A．0 | B． | C． | D． |
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2023-04-25更新
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1657次组卷
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4卷引用：北京市丰台区2023届高三二模数学试题
北京市丰台区2023届高三二模数学试题北京卷专题14平面向量（选择题）（已下线）2023高考考前突破选填专题（北京）（已下线）高一下学期第二次月考卷（测试范围：第6~9章平面向量、复数、立体几何、统计）
3 . 已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足
，则
的取值范围是（ ）
，则的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-03-27更新
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2006次组卷
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5卷引用：北京市东城区2023届高三一模数学试题
北京市东城区2023届高三一模数学试题专题06平面向量北京卷专题14平面向量（选择题）（已下线）2023高考考前突破选填专题（北京）广东省深圳市福田区红岭中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
名校
解题方法
4 . 
为等边三角形，且边长为
，则
与
的夹角大小为
，若
，
，则
的最小值为___________ .
为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为
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2022-06-07更新
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1825次组卷
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7卷引用：北京市第十二中学2022届高三下学期第三次模拟练习数学试题
北京市第十二中学2022届高三下学期第三次模拟练习数学试题北京市陈经纶中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题北京卷专题15平面向量（填空题）（已下线）专题17 向量中的隐圆问题（已下线）专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题-2（已下线）第18练 平面向量的应用（已下线）重难点突破02 向量中的隐圆问题（四大题型）
名校
解题方法
5 . 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形
的边长为4，圆
的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径
，点
在正六边形的边上运动，则
的最小值为（ ）
的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
| A．5 | B．6 | C．7 | D．8 |
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2022-05-30更新
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1974次组卷
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14卷引用：中国人民大学附属中学2022届高三5月适应性练习数学试题
中国人民大学附属中学2022届高三5月适应性练习数学试题北京市陈经纶中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题北京市朝阳区2023届高三一模数学试题查漏补缺练习 (1)（已下线）第02练 平面向量的应用-2022年【暑假分层作业】高一数学（苏教版2019必修第二册）（已下线）专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题-4甘肃省天水市第一中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题宁夏银川市第二中学2023届高三上学期统练三数学（理）试题宁夏回族自治区银川市第六中学2022-2023学年高三上学期11月月考数学试题宁夏银川市景博中学2023届高三上学期期中考试数学（理）试题（已下线）专题5-1 平面向量中的高频小题归类-1（已下线）第05讲 极化恒等式和矩形大法（已下线）9.4 向量应用（分层练习）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）（已下线）专题训练：平面向量的最值范围问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)湖南省常德市津市市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
名校
6 . 已知向量
满足
，
与
的夹角为
，则当实数变化时，
的最小值为（ ）
满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（ ）A． | B．2 | C． | D．2 |
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2022-05-29更新
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1595次组卷
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6卷引用：北京工业大学附属中学2022届高三三模数学试题
北京工业大学附属中学2022届高三三模数学试题北京卷专题14平面向量（选择题）（已下线）5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精练）-【一隅三反】2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）（已下线）专题16 平面向量及其应用（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）（已下线）专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题-2（已下线）重难专攻(六) 平面向量的最值问题 核心考点集训
名校
7 . 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为
，则
的最小值是（ ）
，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则的最小值是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
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2022-04-14更新
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814次组卷
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7卷引用：北京市顺义区2022届高三第二次统练数学试题
北京市顺义区2022届高三第二次统练数学试题（已下线）临考押题卷03-2022年高考数学临考押题卷(北京卷)黑龙江省佳木斯市第一中学2022届高三下学期高考押题卷理科数学试题宁夏石嘴山市第三中学2022届高三第三次模拟考试数学（理）试题（已下线）2023高考考前突破选填专题（北京）湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2021届高三下学期第一次模拟考试数学试卷北京市顺义区杨镇第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷
名校
8 . 关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种
变换和4种
变换
模变为原来的
倍，同时逆时针旋转
；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的
倍，同时逆时针旋转
；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转
；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转
记集合
，若每次从集合
中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过
次抽取，依次将第
次抽取的变换记为
，即可得到一个维有序变换序列，记为
，则以下判断中正确的序号是__________ .
①单位向量
经过奇数次变换后所得向量与向量
同向的概率为；
②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量
同向的概率为
；
③若单位向量经过
变换后得到向量
，则中有且只有2个变换；
④单位向量经过变换后得到向量的概率为
.
变换和4种变换模变为原来的倍，同时逆时针旋转；模变为原来的倍，同时顺时针旋转；模变为原来的倍，同时逆时针旋转；：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；模变为原来的倍，同时逆时针旋转；模变为原来的倍，同时顺时针旋转记集合
，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是①单位向量
经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；②单位向量
经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；③若单位向量
经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换；④单位向量
经过变换后得到向量的概率为.
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2021-06-04更新
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664次组卷
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5卷引用：北京市2021届高三高考模拟数学试题
北京市2021届高三高考模拟数学试题北京市第二中学2022届高三上学期期中考试数学试题（已下线）课时27 平面向量的分解定理及应用-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）（已下线）专题09 平面几何与向量-备战2022年高考数学（文）母题题源解密（全国乙卷）（已下线）第11讲 平面向量-3
名校
解题方法
9 . 已知正方形
的边长为，若
，则
的值为________ ．
的边长为，若，则的值为
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名校
10 . 已知圆C的方程为
，点P在直线
上，线段AB为圆C的直径，则
的最小值为（ ）
，点P在直线上，线段AB为圆C的直径，则的最小值为（ ）A． | B． | C． | D．3 |
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2021-05-29更新
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1129次组卷
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8卷引用：北京市中央民族大学附属中学2021届高三三模数学试题
北京市中央民族大学附属中学2021届高三三模数学试题四川省绵阳南山中学2022-2023学年高三上学期12月二诊热身考试数学（文）试题北京卷专题21A平面解析几何（选择题部分）北京卷专题14平面向量（选择题）（已下线）专题2.13 直线与圆的位置关系-重难点题型精讲-2021-2022学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）四川省宜宾市叙州区第一中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题四川省宜宾市叙州区第一中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学（文）试题（已下线）2.5.1 直线与圆的位置关系【第三练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
