1 . 用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直．

2 . 用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．

3 . 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

   

(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．

4 . 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．
   
(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．

5 . 利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．

6 . 在复平面内A，B，C的对应的复数分别为．
(1)求；
(2)判定的形状．

7 . 已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.

8 . 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.

(1)用，表示，.
(2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.

9 . 设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心.

10 . 已知点A（0，1），B（6，4），C（4，8），，求证：四边形ABCD是矩形．