1 . 如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．
   
（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）证明：．

2 . 利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．

3 . 用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直．

4 . 如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.

5 . 在中，，分别为边上的点，且．求证：．
   

6 . 数学探究：用向量法研究三角形的性质．向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义．向量运算与几何图形性质的内在联系，使我们自然想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便、便捷呢？在数学研究中，常常用新的工具、新的方法对已研究过的对象进行再研究，这不仅可以站在新的高度审视研究对象，而且还可以有所发现．三角形是几何中最简单的封闭图形，但它是最重要的基本几何图形之一．三角形的性质非常丰富，是联系各种几何图形的纽带．在平面几何中，我们已经研究过三角形的一些基本性质，但对三角形的认识还不够深入，例如对三角形的外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等只有初步认识．因此，以向量为工具对三角形进行再研究是非常有意义的．

（1）①叙述余弦定理，并用向量的方法证明余弦定理；②直接写出余弦定理的向量表示（用，表示）．
（2）中，分别是的中点，O是重心，证明：对任意一点P，向量与共线．
（3）我们知道，三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心，请你从下面两个问题中任选一个并解答（注：如果选择两个，则按第一个解答计分）①用向量方法证明：三角形的三条高线交于一点．如图①所示，中，设边上的高交于点H，求证：边上的高过点H；②用向量方法证明：三角形的三边的垂直平分线交于一点．如图②所示，的三边的中点分别为和边上的垂直平分线交于点O，求证：边上的垂直平分线过点O．

7 . 如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．

（1）证明：；
（2）当点C在BG的什么位置时，最小？

8 . 在中，，对任意，有.
（1）求角；
（2）若，，且、相交于点.求证：.

9 . 如图，在正方形中，为对角线上任意一点（异于、两点），，，垂足分别为、，连接、，求证：.