1 . 甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，．
(1)试用，表示，．
(2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项．

2 . 已知集合，,．对于数列，，且对于任意，，有．记为数列的前项和.
(1)写出，的值；
(2)数列中，对于任意，存在，使，求数列的通项公式；
(3)数列中，对于任意，存在，有.求使得成立的的最小值．

3 . 已知二次函数的图像过点，且，．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式；
（Ⅲ）记，为数列的前项和．求证：．

4 . 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②．
（1）若等比数列为 ()阶“期待数列”，求公比；
（2）若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为：
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若存在使，试问数列能否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

5 . 某科技创新公司投资万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长，同时，该产品第1个月的维护费支出为万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.
（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？
（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）

6 . 无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，中等于的项的个数.
（Ⅰ）若，请写出数列的前7项；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得；
（Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件．

7 . 已知数列满足，，其中，，为非零常数.
（1）若，，求证：为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列是公差不等于零的等差数列.
①求实数，的值；
②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.

8 . 已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，设的前项和为，求证：．

9 . 已知数列为等比数列，，且.
（1）求；
（2）若数列满足，，求.

10 . 设数列{a_n}的前n项的和为．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{b_n}的前n项的和为T_n，若对一切n∈N^*，均有，求实数m的取值范围．