1 . 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5，9，14，20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为，则（       ）．

A．

B．

C．

D．

2 . 将正整数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：

(1)写出数表中第4行、第5行的各数；
(2)写出数表中第10行的第5个数；
(3)数表中每一行的第1个数依次构成数列，数表中每行的最后1个数依次构成数列，试分别写出数列、的递推公式．

3 . 如图，是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，…，，…的长度构成数列．

（1）写出数列的前4项：______；
（2）写出数列的一个递推公式：______．

4 . 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（       ）

A．55

B．58

C．60

D．62

5 . 若，，（，）．
(1)求出、、的解析式；
(2)由前面计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

6 . “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲. 1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

8 . 数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（       ）

A．，	B．，，
C．，	D．，，

10 . 如图，、、、是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．

（1）写出、、；
（2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明．