1 . 某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．
(1)若该队员罚点球4次，记积分为，求的分布列与数学期望；
(2)记点球积分的概率为．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求．

2 . 学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第号同学得到球后传给号同学的概率为，传给号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第号的概率为．
(1)求的值；
(2)证明：是等比数列；
(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．

3 . 已知是首项为，公比q为正数的等比数列，其前n项和为，且有，设.
(1)求q的值；
(2)数列能否是等比数列？若能，求出所有可能的的值；若不能，请说明理由.

4 . 如图，圆心在直线上，半径组成公比为的等比数列的一系列圆，其圆心依次为，，，…，，…．其中第一个圆是单位圆，与外切，…，与外切．

(1)求所有圆的面积的和S；
(2)求直线上被这一系列圆覆盖的线段的长度l．

5 . 某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费.此收费标准为（中心城区占道停车场）每小时10元，并实行累进加价制度，占道停放1h后，每小时按加价50％收费.此标准在媒体上引发了争议.请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按照一辆小轿车一天内连续停车14h测算：根据不同的解释，收费各为多少元？

6 . 甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．

7 . 汪先生家要购买一套商品房，计划使用公积金贷款10万元.
(1)贷款按月等额本息还款，分十二年还清，已知12年期公积金贷款月利率4.455(‰)，问：汪先生家每月应还款多少元?（小数点后保留两位有效数字）
(2)贷款若按月等额本金还款，月利率为r，问：汪先生家最后一期应还款多少元?（不需计算结果，只列出计算公式即可）
(参考数据：1.004455¹⁴⁴1.9，1.005025¹⁴⁴2.1，1.005025¹⁸⁰2.5)

8 . 为丰富学生在校的课余生活，某校高三年级倡导学生积极参加踢毽子、投篮、射门等体育活动．各班拟推选“运动健将”组建班级代表队参与年级组织的体育比赛，年级依据各班团体和个人项目成绩的总积分排名给予表彰．

(1)踢毽子是团体项目之一．班级人均一分钟踢毽子数不低于37个就认定为优秀．A班利用体育课进行一分钟踢毽子练习，体育委员统计出同学们的成绩（全介于10到70之间）并作出频率分布直方图如图所示（原始成绩单丢失）．已知该频率分布直方图后四组“柱高”依次成等比数列，假若以这次练习的成绩做评价，该班是否能达到优秀标准？请你说明你的判断理由．
(2)年级组织的竞技比赛中设有定点投篮和射门两个个人项目，竞赛规则如下：参赛选手从甲、乙两种方式中任选一种进行比赛，若投中或射中就称之为成功．
甲方式：从投篮、射门两项中通过抽签等可能地选择其中一个项目连续测试两次；
乙方式：从投篮、射门两项中通过抽签等可能地选择其中一个项目进行测试，若该项目成功则换另一个项目接着进行测试，否则重复测试该项目，此方式也只测试两次．
积分规则：无论选甲、乙哪种方式，若某项目首次测试成功就记5分，失败则记0分；再次测试该项目时，成功只记4分，失败仍记0分．
A班推选a同学代表班级从甲、乙两方式中选择一种参加个人项目比赛．已知a同学投篮和射门的命中率分别为，，且前后两项测试不会相互影响．以参加比赛的得分期望为标准，请问a同学该选择哪种方式？

9 . “学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 ，求的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求.

10 . 2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为，且每次回答问题是相互独立的，记小明得分的概率为，.
(1)求，的值；
(2)求.