1 . 某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
(1)写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列；
(2)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）

2 . （1）求和其中，a，b是不为0的常数，且
（2）若n为大于1的正奇数且，求证：是的一个因式.

4 . 在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：

类别	特征
类（Susceptible）	易感染者，体内缺乏相关抗体，与类人群接触后易变为类人群．
类（Infectious）	感染者，可以接触类人群，并把传染病传染给类人群；康复后成为类人群．
类（Recovered）	康复者，指病愈而具有免疫力的人群，或被隔离者；若抗体存在时间有限，可能重新转化为类人群．

在一个1000人的封闭环境中，设第天类，类，类人群人数分别为．其中第1天．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：

日感染率	日治愈率	日消抗率
类类占当天类比例	类类占当天类比例	类类占当天类比例

已知对于某类传染病有：（即：产生抗体后永久免疫）．
(1)求和；
(2)求证存在，使得是一个等比数列，并求出和．

5 . 如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列．

(1)求这一系列正方形的面积所构成的数列，并证明它是一个等比数列；
(2)从原始的正方形开始，到第9次构成新正方形时，共有10个正方形，求这10个正方形面积的和；
(3)如果把这一过程无限制地延续下去，你能否预测一下，全部正方形面积相加“最终”会达到多少？

6 . 如图（1），四边形是一边长为14cm的正方形．，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．依循相同的规律，，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形，…，，…．

      

(1)求．
(2)求．
(3)一蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图（2）所示，证明：该蚂蚁所爬行的总距离不能大于21cm．

8 . 下图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3）….由图可知，围成第一个图形的线段条数为3，围成第（2）个图形的线段条数为，设围成第个图形的边长条数为.

(1)求，并直接写出（不用证明）；
(2)数列满足，求数列的前项和.

9 . “绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方公里，则第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系如下：；
(1)证明是等比数列并求通项公式；
(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（）

10 . “绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为万平方公里，第n年绿洲的面积为万平方公里.
(1)求第n年绿洲的面积与上一年绿洲的面积的关系；
(2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：）