1 . 在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：

类别	特征
S类（Susceptible）	易感染者，体内缺乏有关抗体，与I类人群接触后易变为I类人群．
I类（Infectious）	感染者，可以接触S类人群，并把传染病传染给S类人群；康复后成为R类人群．
R类（Recovered）	康复者，自愈或者经治疗后康复且体内存在相关抗体的I类人群；若抗体存在时间有限，可能重新转化为S类人群．

在一个600人的封闭环境中，设第n天S类，I类，R类人群人数分别为，，．其中第1天，，．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：

S类→I类占当天S类比例	I类→R类占当天I类比例	R类→S类占当天R类比例

(1)已知对于传染病A有，，．求，；
(2)已知对于传染病B有，，．
（Ⅰ）证明：存在常数p，q，使得是等比数列；
（Ⅱ）已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含：①控制感染人数；②保护易感人群．请选择一项，通过相关计算说明：实际生活中，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B．

2 . 随着5G网络信号的不断完善，5G手机已经成为手机销售市场的明星.某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G手机的价格数据进行分析得到如图所示的频率分布直方图：

(1)某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500元以下的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层抽样的方式提供了14部手机让其从中购买，假定选择每部手机是等可能的，求这两人至少选择一部价位在3500~4500元的手机的概率；
(2)该商场在春节期间推出为期三天的“中奖打折”活动，活动规则如下：在一个不透明的容器中装有一白一黄两个除颜色外完全相同的乒乓球，顾客每次限抽一球，抽完后放回容器中摇晃均匀后再抽取下一次.若抽中白球得2分，抽中黄球得1分，得分为9分或10分时停止抽取，其中得9分为中奖，享受标价打n折（）优惠，得10分则未中奖按标价购买.设得分的概率为（，2，…，10），其中.
（i）证明（，且）是等比数列；
（ii）假定厂家在出售手机时的标价为进价的2倍，则厂家至少打几折才不致亏损?

3 . 如图，在边长为1的等边三角形ABC中，连接各边中点得，再连接的各边中点得……如此继续下去，试证明数列，，，…是等比数列．

4 . 已知无穷数列…，求证：
(1)这个数列是等比数列；
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的；
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

5 . 已知数列，其前项和为.
①数列是等差数列，
②（其中常数），
③三点共线，
④数列是等比数列.
从四个命题中选一个命题作为条件，另一个命题作为结论制作一个正确命题，并证明.