2024高三·全国·专题练习
1 . 多面体的欧拉定理:简单多面体的顶点数
、棱数
与面数
满足
的数学关系.请运用欧拉定理解决问题:碳
具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性,是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定,形似足球,也叫足球烯,如图所示.碳
的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体,60个碳原子处于多面体的60个顶点位置,则32个面中正六边形面的个数是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a098e3851f80b3d3c273d34416c4778e.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c8e1c1322f0411a8d6c444b53f59a697.png)
A.22 | B.20 | C.18 | D.16 |
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2 . 多面体欧拉定理是指:若多面体的顶点数为
,面数为
,棱数为
,则满足
. 已知某
面体各面均为五边形,且经过每个顶点的棱数为3,则
( )
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f4e74d22956ee787efc6b943aac41c7e.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f3cb8d72bb2e281b943b3b430138ef7.png)
A.6 | B.10 | C.12 | D.20 |
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2024-04-24更新
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225次组卷
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3卷引用:11.1.3 多面体与棱柱-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)
(已下线)11.1.3 多面体与棱柱-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)河南省青铜鸣大联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题河南省濮阳市普通高中2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
名校
3 . 设
为多面体
的一个顶点,定义多面体
在
处的离散曲率为
其中![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a5f7f18eb4498ca06703a87dc4d465ae.png)
,为多面体
的所有与点
相邻的顶点,且平面
,
,…,
,
遍历多面体
的所有以
为公共点的面,如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体),若它们在各顶点处的离散曲率分别是a,b,c,d,则a,b,c,d的大小关系是( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/1/2/e98cc65e-0d77-45b6-a534-cf9dd345c26d.png?resizew=504)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f733e19f18ab01a3c022331805ed58a6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/1/2/e98cc65e-0d77-45b6-a534-cf9dd345c26d.png?resizew=504)
A.![]() | B.![]() |
C.![]() | D.![]() |
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2023-12-30更新
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559次组卷
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6卷引用:大招1 四面体的特殊模型
(已下线)大招1 四面体的特殊模型(已下线)第02讲 8.1基本立体图形(第2课时 )(2)-【帮课堂】(人教A版2019必修第二册)(已下线)8.1基本立体图形【第三练】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路河南省南阳市第一中学校2024届高三上学期12月月考数学试题河南省漯河市高级中学2024届高三上学期1月月考数学试题广东省广州市执信中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷(一)
2023高三·全国·专题练习
解题方法
4 . 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用,在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定:多面体的顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有
个面角,每个面角是
,所以正四面体在每个顶点的曲率为
,故其总曲率为
.给出下列三个结论:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/6/16/3260674968248320/3260854239141888/STEM/79002e99bec346b2bc124025082f81ba.png?resizew=264)
①正方体在每个顶点的曲率均为
;
②任意四棱锥的总曲率均为
;
③若某类多面体的顶点数
,棱数
,面数
满足
,则该类多面体的总曲率是常数.
其中,所有正确的结论是____________ (填写序号).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/35e2d7c958e99bcd9d7f251c19ee3544.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac1a63ab608517bb10aa036783dfb51f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ba7b2dd83fcacead6b6c7733503dfcee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/20b3a91ccf6028608cd03df7072f6536.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/6/16/3260674968248320/3260854239141888/STEM/79002e99bec346b2bc124025082f81ba.png?resizew=264)
①正方体在每个顶点的曲率均为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d49f8a63ddbca52039fa9ab44cda6b29.png)
②任意四棱锥的总曲率均为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/20b3a91ccf6028608cd03df7072f6536.png)
③若某类多面体的顶点数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c91c4472879d107d42da5b07fab777e.png)
其中,所有正确的结论是
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名校
5 . 足球被誉为“世界第一运动”,它是全球体育界最具影响力的单项体育运动,足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的.即用如图1所示的正二十面体,从每个顶点的棱边的
处将其顶角截去,截去
个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由
个边长为
的正三角形围成的封闭几何体,则如图2所示的几何体中所有棱的边数为( ).
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/10/18/3090504653053952/3091285583601664/STEM/4f98c02bdfbd409eafbee276ef4d7348.png?resizew=302)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f1dd362f843e640ce551ad1787c9873.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/06d4f27942305839ca012496546bc3a0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5af1a926e6394df85a96d499a380be7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a25b2bbf7e0d8ad8306348d9057671f1.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/10/18/3090504653053952/3091285583601664/STEM/4f98c02bdfbd409eafbee276ef4d7348.png?resizew=302)
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C.![]() | D.![]() |
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21-22高二·全国·课后作业
6 . 不同的凸多面体中的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系有什么规律吗?
(1)请完成下表;
常见的凸多面体顶点数V、棱数E、面数F的实验观察记录表
(2)提出猜想,写出明确结论;
(3)收集阅读相关资料,完善对问题的理解.
(1)请完成下表;
常见的凸多面体顶点数V、棱数E、面数F的实验观察记录表
所选多面体 | 顶点数V | 棱数E | 面数F | 形成猜想 |
正四面体 | ||||
正方体 | ||||
正八面体 | ||||
正十二面体 | ||||
正二十面体 | ||||
三棱柱 | ||||
五棱锥 | ||||
六棱台 | ||||
自选观察体一 | ||||
自选观察体二 |
(3)收集阅读相关资料,完善对问题的理解.
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2022-03-07更新
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217次组卷
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3卷引用:专题08多面体与旋转体(2个知识点3种题型1种高考考法)-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版2020必修第三册)
(已下线)专题08多面体与旋转体(2个知识点3种题型1种高考考法)-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版2020必修第三册)(已下线)5 数学探究活动(一):正方体截面探究(已下线)11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)
名校
解题方法
7 . 萤石晶体常呈立方体、八面体或立方体的穿插双晶,集合体呈粒状或块状.如图是某萤石晶体的八面体结构,若各面均为边长为1的正三角形,
为正方形,则在四边形
内随机取一点
,则点
到点
的距离大于1的概率为( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/12/19/2875725203111936/2880875895087104/STEM/4e3c927d-7bf2-4024-9799-80e99a73942a.png?resizew=255)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9766e5eb6796dafc5ffe212afdfc43c0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/12/19/2875725203111936/2880875895087104/STEM/4e3c927d-7bf2-4024-9799-80e99a73942a.png?resizew=255)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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8 . 2021年10月,麻省理工大学的数学家团队解决了
维空间中的等角线问题等角线是组直线,这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中,最大的等角线组有6条直线,它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体,其外接球半径为
,则三维空间最大等角线组中,任意两条直线形成的角的大小为________ (精确到
)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be78acb11c2573842045cba6d44195b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f4c74a88e12936aaa3518764d5fb5192.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/11/6/2845688212283392/2848104514732032/STEM/7eeb33c9ce624c0b96d71b59cf5193e8.png?resizew=164)
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2021-11-10更新
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307次组卷
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4卷引用:第11章 简单几何体(基础、典型、易错、新文化、压轴)分类分项训练-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略(沪教版2020必修第三册)
(已下线)第11章 简单几何体(基础、典型、易错、新文化、压轴)分类分项训练-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略(沪教版2020必修第三册)(已下线)11.3 多面体与旋转体(作业)(夯实基础+能力提升)-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件(沪教版2020必修第三册)(已下线)专题08多面体与旋转体(2个知识点3种题型1种高考考法)-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版2020必修第三册)上海市七宝中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
名校
9 . 如图一副直角三角板,现将两三角板拼成直二面角,得到四面体
,则下列叙述正确的是( )
①平面
的法向量与平面
的法向量垂直;
②异面直线
与
所成的角为
;
③四面体
有外接球;
④直线
与平面
所成的角为
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/10/25/2836806448037888/2837728884629504/STEM/73193178b2794084ba7e8cabe8982776.png?resizew=126)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/10/25/2836806448037888/2837728884629504/STEM/cb8025d1e3e24c49940a45828ed528ca.png?resizew=188)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
①平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca67a5b8f69507c8b80379e86f90a8ce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4eb7e9ad5486cf1c5e506b20c5469e8.png)
②异面直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dc5c9827dfd0be5a9c85962d6ccbfb1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/03902478df1a55bc99703210bccab910.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be6a6301878fed2a01413020b27310a5.png)
③四面体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
④直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e52a8f07834cbbbe4224962672fbbb2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7bef5239ddbb0972700ce01daf9ee7cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f6b86c22b670a8e9f3896f9e8883fbbb.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/10/25/2836806448037888/2837728884629504/STEM/73193178b2794084ba7e8cabe8982776.png?resizew=126)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/10/25/2836806448037888/2837728884629504/STEM/cb8025d1e3e24c49940a45828ed528ca.png?resizew=188)
A.②④ | B.③ | C.③④ | D.①②③④ |
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10 . 正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,其所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形,且每一个顶点所接的面数都一样,各相邻面所成二面角都相等).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体
和一个正八面体
的棱长都是
(如图),把它们拼接起来,使它们一个表面重合,得到一个新多面体.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/31/661893bd-5cfb-4add-97f2-8b6d8e878a6d.png?resizew=283)
(1)求新多面体的体积;
(2)求正八面体
中二面角
的余弦值;
(3)判断新多面体为几面体?(只需给出答案,无需证明)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6cb6c9306a25f041d7801274838b43dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c87bc797aad25e4ccdc9d722a87b642c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/31/661893bd-5cfb-4add-97f2-8b6d8e878a6d.png?resizew=283)
(1)求新多面体的体积;
(2)求正八面体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/00947c195caa8a846693b1d79a8835c2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4b820c84570da9c38d0a81c22788b76.png)
(3)判断新多面体为几面体?(只需给出答案,无需证明)
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