1 . 如图，边长为4的正方形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点

（1）求证平面．
（2）求圆柱的表面积和体积．

2 . 一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土（钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）？

3 . 某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.

（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m²，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（取3.14，结果精确到0.01万元）
（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m³，则一个油罐可储存多少吨油？（取3.14，结果精确到0.01吨）

4 . 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为．

（1）当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
（2）如图，当，时，平面与圆柱底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交，设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点、，若以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求证：曲线是椭圆并写出椭圆标准方程；
（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，当取得最大值时，求的值．（结果用数字表示）

5 . 现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为，则长方体的高的取值范围是___________.

6 . 已知抛物线，以轴为旋转轴将抛物线旋转半周，得到一个旋转抛物面．设轴绕轴旋转所成的平面为．为平行于平面且到的距离为的平面，记平面与旋转抛物面所围成的几何体为（如图），以的上底面作一个高为的圆柱体（如图），利用祖暅原理可求得的体积为______．

7 . 六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的）．