1 . 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．

2 . （1）已知某椭圆过点，，求该椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程.

3 . 设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．
(1)求椭圆和的方程；
(2)若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由．

4 . 已知椭圆.四点，，，恰有三点在椭圆C上，则椭圆C的方程为___________________.

5 . 已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；
（Ⅲ）设，，求的取值范围.

6 . 已知椭圆的左右焦点坐标为 ，且椭圆经过点．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆经过点，离心率为. 已知过点的直线与椭圆交于两点．

（1）求椭圆的方程；
（2）试问轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.