1 . 已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，为椭圆的离心率，且点为椭圆短半轴的上顶点，为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴垂直的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当且时，求的面积的取值范围.

2 . 如图，椭圆左、右顶点为、，左、右焦点为、，，.直线交椭圆于点，两点，与线段、椭圆短轴分别交于、两点（，不重合），且.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求的取值范围.

3 . 已知椭圆的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得.若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且,求四边形面积的最小值．

5 . 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y轴于点，若，求直线的方程.

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为 ，椭圆的离心率为，且椭圆经过点 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时实数的值.

7 . 已知椭圆的一个焦点为且过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的上下顶点分别为是椭圆上异于的任一点，直线分别交轴于点，若直线与过点的圆相切，切点为．
证明：线段的长为定值，并求出该定值．