1 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作与相切的两条直线，分别交椭圆C于P，Q两点，求证：直线恒过定点．

2 . 如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．

3 . 已知椭圆：经过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线，均过点A，且互相垂直，直线与圆O：交于M，N两点，直线与椭圆C交于另一点B，求面积的最大值.

4 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，求面积的最大值以及此时直线l的方程.

5 . 已知椭圆C：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点在椭圆C上，不过点A的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP，AQ的斜率之和为1，试问直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．

6 . 已知椭圆的焦距为2且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

7 . 椭圆，，，，四点中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上两点、，若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围.

8 . 若椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率之和为定值．

9 . 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程.
(2)设为坐标原点，过点的直线（斜率不为0）交椭圆于不同的两点（异于点），直线分别与直线交于两点，的中点为，是否存在实数，使直线的斜率为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.