1 . 已知曲线系的方程为．求证：对平面内任一点，总存在中的一椭圆和一双曲线通过该点．

2 . 已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．

3 . 已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；
（3）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．

4 . 已知椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，短轴长为4.动点在双曲线(顶点除外)上运动，直线和与椭圆的交点分别为和.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：为定值，并求出此定值.

5 . 如图，已知双曲线的右焦点为,点分别在的两条渐近线上，轴， ,(为坐标原点）.

（1）求双曲线的方程；
（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：点在上移动时，恒为定值，并求此定值.