名校
1 . 如图,B地在A地的正东方向,相距4km;C地在B地的北偏东
方向,相距2km,河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向A、B、C三地转运货物.经测算,从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km,从M到C修建公路的费用为20万元/km.选择合适的点M,可使修建的三条公路总费用最低,则总费用最低是______ 万元(精确到0.01)
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2 . 祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家,他于5世纪末提出了“幂势既同,则积不容异”的体积计算原理,即“夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中,了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面(如图).现有某火电厂的冷却塔设计图纸,其外形的双曲线方程为
(
),内部虚线为该双曲线的渐近线,则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________ .
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3 . 从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点;从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图①,一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成,现一光线从左焦点
发出,依次经S与T反射,又回到了点
,历时
秒;若将装置中的S 去掉,如图②,此光线从点
发出,经T两次反射后又回到了点
历时
秒.已知
,则T的离心率
与S的离心率
之比
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解题方法
4 . 用平面截圆锥面,可以截出椭圆、双曲线、抛物线,那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢?比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1,在一个圆锥中放入两个球,使得它们都与圆锥面相切,一个平面过圆锥母线上的点
且与两个球都相切,切点分别记为
.这个平面截圆锥面得到交线
是
上任意一点,过点
的母线与两个球分别相切于点
,因此有
,而
是图中两个圆锥母线长的差,是一个定值,因此曲线
是一个椭圆.如图2,两个对顶圆锥中,各有一个球,这两个球的半径相等且与圆锥面相切,已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为
,球的半径为4,平面
与圆锥的轴平行,且与这两个球相切于
两点,记平面
与圆锥侧面相交所得曲线为
,则曲线
的离心率为__________ .
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2024·全国·模拟预测
5 . 在天文望远镜的设计中,人们利用了双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点射出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.如图,已知双曲线的离心率为2,则当入射光线
和反射光线
互相垂直时(其中
为入射点),
的值为( )
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A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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名校
6 . 费马定理是几何光学中的一条重要原理,在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如,点P为双曲线(
,
为焦点)上一点,点P处的切线平分
.已知双曲线C:
,O为坐标原点,l是点
处的切线,过左焦点
作l的垂线,垂足为M,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aeac5175101c8d3fbdefea179f41c992.png)
______ .
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2023-04-06更新
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3720次组卷
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13卷引用:2024届新高考数学信息卷1
(已下线)2024届新高考数学信息卷1浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测(二模)数学试题江苏省苏州市第五中学2023届高三下学期4月适应性考试数学试题福建省”德化一中、永安一中、漳平一中“三校协作2023届高三适应性考试数学试题上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题河南省周口市川汇区周口恒大中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题(已下线)专题09 平面解析几何(已下线)专题07 平面解析几何广东省广州市执信中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题(已下线)第21讲 双曲线及其标准方程7种常见考法归类(2)(已下线)3.2.2 双曲线的简单几何性质(精练)-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列(人教A版2019选择性必修第一册)湖北省咸宁鲁迅学校2023届高三下学期5月月考数学试题安徽省利辛县第一中学2023-2024学年高三上学期第23次限时练数学试题