1 . 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为_________.

2 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为，则的最大值为________．

3 . 在平面直线坐标系XOY中，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，且.
（1）求点C的轨迹方程.
（2）设点C的轨迹与双曲线（）相交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：是定值.
（3）在（2）条件下，若双曲线的离心率不大于，求该双曲线实轴的取值范围.

4 . 已知双曲线，点在曲线上，曲线的离心率为，点为曲线上易于点A的任意两点,为坐标原点．
（1）求曲线上方程；
（2）若为曲线的焦点，求最大值；
（3）若以为直径的圆过点A，求证：直线过定点，并求出定点坐标．