1 . 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）.
(1)当时，求直线的方程;
(2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.

2 . 已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，O为椭圆的中心，D是线段OB的中点．直线，动点T到直线m的距离与T到点的距离相等．设动点T的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点D作斜率为的直线l，交于M，N，直线分别交于P，Q两点（P，Q均不同于点A），设直线的斜率为，求证：是定值．

3 . 已知抛物线的准线交轴于，过作斜率为的直线交于，过作斜率为的直线交于．
(1)若抛物线的焦点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明；
(2)若三点共线，
①证明：为定值；
②求直线与夹角的余弦值的最小值．

4 . 已知抛物线，过点作不与x轴垂直的直线，分别与抛物线C交于M，N和P、Q两点.
(1)若M，N两点的纵坐标之和为-6，求直线l的斜率；
(2)证明：；
(3)若点E为线段MN的中点，点G为线段PQ的中点，求的值.
注：k表示直线的斜率.

5 . 圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为，弦AB过C的焦点F，设，，，则有，，对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P在直线上；②；③；④，其中所有正确结论的序号为__________．

6 . 已知点在轴上运动，点在轴上运动，点，动点满足

(1)求动点的轨迹的方程
(2)已知点，其中，过点作直线与轨迹相切，其中为切点，在轴左侧
①求证：直线过定点
②令的面积为，的最大值

7 . 如图，已知抛物线 的焦点为，点是轴上一定点，过的直线交与两点.

(1)若过的直线交抛物线于，证明纵坐标之积为定值；
(2)若直线分别交抛物线于另一点，连接交轴于点.证明：成等比数列.