1 . 在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足．记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l不经过点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点，证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值.

2 . 已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.

3 . 已知椭圆C的中心为坐标原点，且以直线（m∈R）所过的定点为一个焦点，过右焦点F₂且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2.
（1）求椭圆C的标准方程；.
（1）设点A，B分别是椭圆C的左､右顶点，P，Q分别是椭圆C和圆O∶上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于不同的两点M，N，求证∶QM与QN所在的直线互相垂直.

4 . 已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:
①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;
②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值．

6 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

7 . 已知椭圆（）的焦点是F₁，F₂，且| F₁F₂|=2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F₂的直线交椭圆于，（）两点，点Q是直线l上异于F₂的一点，且满足.求证：点Q的横坐标是定值.

9 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．

10 . 已知椭圆的左右焦点为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（1）设直线、的斜率分别为、，证明：；
（2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.