1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，的周长为8．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值．

2 . 设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设椭圆：，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值.

3 . 已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.

4 . 已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.