1 . 已知椭圆：经过点（，），且两个焦点，的坐标依次为（1，0）和（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，求当为何值时，直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．

2 . 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.，当点在圆上运动时，
（1）求点的轨迹的方程；
（2） 若，直线交曲线于、两点（点、与点不重合），且满足.为坐标原点，点满足，证明直线过定点，并求直线的斜率的取值范围.

3 . 已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．                                                                                
（1）求椭圆的方程；                                                                                
（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．

4 . 椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________.

5 . 设分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，且.
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点，若以为直径的圆经过点，证明：点在直线上.

6 . 已知椭圆E:经过点P(2,1)，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．

7 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于,两点，使得，再过作直线,证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

8 . 如图，过点的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的平行线交椭圆于点．

(1)求证：直线过定点并求点的坐标；
(2)求三角形面积的最大值．

9 . 已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点在轴,离心率为.是椭圆与轴负半轴的交点,且.
(1)求曲线的方程;
(2)过作两条直线，且与曲线的异于的交点分别为.设的斜率分别是，若,求证:由确定的直线经过定点.

10 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标．