1 . 已知A，B是椭圆的左、右顶点，C为E的上顶点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若M，N，P是椭圆E上不同的三点，且坐标原点O为的重心，试探究的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

2 . 已知圆，点P为圆O上的动点，轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）直线与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且，证明：为定值.

3 . 已知椭圆的左焦点为，抛物线，与交于点．

（1）求与的方程；
（2）动直线与交于不同两点、，与交于不同两点、，且，记、的斜率分别为是、，满足，记线段的中点的纵坐标为，求的取值范围．

4 . 已知动圆过定点，并且在定圆内部与其相内切，动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆的离心率为，右顶点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A，B，线段AB 中点为M，证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率乘积为定值．

6 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，对称中心为O，直线与椭圆C相交于，两点，设A，B两点对应的相关点分别为，，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线与交于两点，且的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（1）过作与直线不重合的直线与相交于两点，若直线和直线相交于点，求证：点在定直线上.

8 . 已知椭圆C:的离心率为，点为C上一点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设坐标原点为O，点A､B在C.上，点P满足，且直线OA，OB的斜率之积，证明为定值．

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，焦距为2，其上、下顶点分别为，．直线：与轴交于点，点是椭圆上的动点（异于，），直线，分别与直线：交于点、，连接，与椭圆交于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设的面积为，的面积为，试判断是否为定值？并说明理由．

10 . 已知中心为坐标原点的椭圆的一个焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若不经过点的直线：与椭圆交于，两点，且与圆相切，试探究的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.