1 . 已知椭圆的左、右焦点、，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线是圆的切线，与椭圆交与不同的两点，，证明：的大小为定值．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过右焦点作直线交椭圆于，两点，的周长为，点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线、的斜率，，请问是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.

3 . 已知椭圆：的长轴长是离心率的两倍，直线：交于，两点，且的中点横坐标为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，是椭圆上的点，为坐标原点，且满足，求证：，斜率的平方之积是定值．

4 . 已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点，求证：直线，，的斜率成等差数列.

5 . 已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，点的坐标为，证明：为定值.

6 . 已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，试问：轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，，其离心率为，点是椭圆上任一点，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率不为0的直线与椭圆相交于，两个不同点，且是平行四边形，证明：四边形的面积为定值.

8 . 顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（以为坐标原点），线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，求椭圆的值.

9 . 已知椭圆的两个焦点分别是,短轴的两个端点分别为，左右顶点分别为，若为等腰直角三角形，点在椭圆上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是（     ）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M）．
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）求面积的最大值．