1 . 如图，设是椭圆的左焦点，点是轴上的一点，点为椭圆的左、右顶点，已知，且

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，试判定直线的斜率之和是否为定值，并说明理由.

2 . 过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为

A．

B．

C．1

D．

3 . 已知椭圆 的离心率为，若椭圆与圆：相交于M,N两点，且圆E在椭圆内的弧长为.       
（1）求椭圆的方程；       
（2）过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值.

4 . 已知椭圆：的离心率为，，为其左、右顶点，为椭圆上除，外任意一点，若记直线，斜率分别为，.
（1）求证：为定值；
（2）若椭圆的长轴长为4，过点作两条互相垂直的直线，，若恰好为与椭圆相交的弦的中点，求与椭圆相交的弦的中点的横坐标.

5 . 已知椭圆： 的离心率为，短轴为.点满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点.
（Ⅰ）求直线ON（O为坐标原点）的斜率；
（Ⅱ）对于椭圆C上任意一点M，试证：对任意的等式都成立.

7 . 已知椭圆：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设与直线（为坐标原点）平行的直线l交椭圆于，两点，求证：直线，与轴围成一个等腰三角形．

8 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以点为圆心，以3为半径的圆与以点为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.设点，在中，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线不经过点，且与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率分别为，，求的值.

9 . 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线相交于P，两点，且
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；

（Ⅱ）不过原点的直线与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线，ON的斜率成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S₁、S₂，试探究的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.

10 . 已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；
（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.