1 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个．

2 . 已知，为双曲线C的焦点，点在C上．

(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由.

3 . 已知双曲线的虚轴长为2，点到C的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

4 . 已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，虚轴长为2，过双曲线C的右焦点F作直线MN（不与x轴重合）与双曲线C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线ME，E为垂足.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)是否存在实数t，使得直线EN过x轴上的定点P，若存在，求t的值及定点P的坐标；若不存在，说明理由.

5 . 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点.

6 . 已知双曲线的左、右顶点分别为，，离心率为2．
(1)过右焦点的直线与双曲线交于两点，且的面积是，求直线的方程；
(2)设点在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为，证明：直线过定点．

8 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点，，均在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与直线的纵截距互为相反数，求证：直线过定点.

9 . 已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．

10 . 已知点在双曲线C：（，）上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线，的斜率分别为，，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．
①；②．