1 . 已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.

2 . 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线：与曲线相交于，两点(，均异于左、右顶点)，且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.

3 . 给出问题:已知双曲线方程为，问以定点为中点的弦存在吗?若存在，求出其所在直线的方程;若不存在，请说明理由.
某学生的解答如下：过点与轴垂直的直线与双曲线只有唯一的公共点，显然不符题意，所以可设所求直线的斜率为，则直线方程为，即，将它代入得，，设直线与双曲线相交于，则，若为线段的中点，则，即，解得.所以满足条件的直线存在，方程为.
该学生的解答是否正确?并说明理由_______________________.

4 . 已知双曲线C：－y²＝1，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为________．

5 . 已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.
（1）当运动到时，求的值；
（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.

6 . 在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q.若为直角三角形，则该双曲线的离心率是______.

7 . 双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；

9 . 如图:双曲线:的左、右焦点分别为,,过作直线交轴于点.

(1)当直线平行于的一条渐近线时,求点到直线的距离;
(2)当直线的斜率为时,在的右支上是否存在点,满足？若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若直线与交于不同两点、,且上存在一点,满足(其中为坐标原点),求直线的方程.

10 . 已知动点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是；点M的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F，倾斜角为的直线交曲线C于A,B两点，求.