1 . （1）计算：；(请用数字作答)
（2）解关于正整数n的方程：

2 . 2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷.为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）.
(1)若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率；
(2)求使取得最大值的整数.

3 . 富比尼原理又称算两次原理，是组合数学中非常重要的计算方法，下面的组合恒等式可以用富比尼原理进行证明，具体如下：人中有1人是军人，从人中选人各奖励1颗星，共有种选法，另一方面，这等价于考虑这人中的军人是否被选中，若选中军人，则有种选法，若未选中军人，则有种选法，所以；
(1)若，求关于的方程的解；
(2)将题干中的问题推广到人中有人是军人的情形，写出结论并加以证明．

4 . （1）已知、为正整数，，求证：：
（2）已知、为正整数，求证：；
（3）、为正整数，，求证：．

5 . 设是定义在D上的函数，如果，当时，都有，则称为D上的“非严格递减函数”，已知集合，其中，集合，则满足定义域是，值域是的子集的非严格递减函数有（       ）个

A．56

B．126

C．252

D．462

6 . 已知，则的值可能为（       ）

A．2

B．4

C．7

D．9

7 . 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：

自左向右，第n行第个数记为（n，且）.若（且），则k的值为________；（且）的值为________.

8 . （1）解关于的方程．
（2）求关于的不等式的解集．