1 . 通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　）

A．0.49

B．0.50

C．0.51

D．不能确定

2 . 运动员甲定点罚篮的命中率为，假设每次投篮结果相互独立.
(1)甲定点罚篮4次，求他投中了两次的概率；
(2)甲定点罚篮3次，设是3次罚篮投中次数与没有投中次数之差的绝对值，求随机变量的分布与期望；
(3)甲定点罚篮次，试问甲投中多少次的可能性最大？

3 . 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的倍．若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提出零假设为：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到．
(1)根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况；
(2)求被抽样调查的总人数，并依据小概率值的卡方独立性检验，分析该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；
(3)用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为，求随机变量的方差．
附：

a	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

4 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．

当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．

5 . 某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：

年龄段 类型
单次购物金额满188元	8	15	23	15	9
单次购物金额不满188元	2	3	5	9	11

(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？
(2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

6 . （1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3个红球，1个白球，从中任取3个球，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.

7 . 观察实际情景，提出并分析问题
（1）实际情景
目前新高考实行不分文理科的科目改革，对统考科目提出了新的功能定位和区分选拔要求.因此数学考试必须研宽创新试卷结构和试题形式，以增强数学考试的选拔功能，实现考试目标．2020年开始，高考数学出现了一种新题型-多选题，教育部考试中心通过科学测量分析，指出多选题扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的得分率，也有利于提高试卷的区分度.2021年高考命题的六大要求中提到：选择题的题干应围绕一个中心，和选项的关系一致，干扰项的有效性和迷惑性能反映考生的典型错误，各选项的结构和语言长度应大体一致，各题正确选项的分布要基本均匀.
多选题突出了数学核心概念，强化了基础知识和基本技能的有效落实﹔关注了学生合情推理和演绎推理的有机结合；依托数学模型，注重了对数学思想方法的考查；多选题的考核与数学新课标的六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）关系密切，相辅相成．数学多选题具有无需解题过程，考试分值小，考查容量大，解题思路广，数学思想丰富，对学生能多层次区分的特点．多选题对学生能力的考查更加深入，要求学生具备完整、细致、全面的思维品质.
（2）提出问题
在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
已知考试作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．若该考生期望得到高分，请你替他设计答题方案．
（3）分析问题
策略最优问题，往往依据得分的期望来考虑，这需结合随机变量的分布列来计算.
2．收集数据
某考生通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：

策略		概率		每题耗时（分钟）
		第11题	第12题
A	选对选项	0.8	0.5	3
B	部分选对	0.6	0.2	6
	全部选对	0.3	0.7

3．分析数据
将上表中得到的频率看成概率，结合题设条件可得该同学可能的得分值为0，2，4，5，7，10.
4.建立模型
对于两题，该同学可有4中方案：
方案题采用策略，12题采用策略；方案题和12题均采用策略；
方案题和12题均采用策略；方案题采用策略，12题采用策略；
5.问题解决
设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，10，
故，
，
，
，
，
，
故的分布列为：

	0	2	4	5	7	10
	0.01	0.08	0.12	0.1	0.48	0.21

所以，
但因为时间超过10分钟，后面的题得分少分，相当于得分均值为3分，
因为，
方案的期望值一定小于，故不选方案，
设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，
故，
，
，
，
，
故的分布列为：

	0	2	4	5	7
	0.02	0.12	0.16	0.14	0.56

所以，
方案的期望值也小于，故不选方案；
所以建议考生方案题和12题均采用策略．
6．拓展与延伸
新高考数学的多选题共4题，一般是前两题为基础题，而后两题而难题，那么在这样的情况下，考生为了获得更多的多选题的分数，又应该如何结合自身实际情况设计相应的策略？

8 . 李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买1份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为1000克，标准差为50克的正态分布，李师傅从2022年3月1日至6月8日连续100天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在（单位：克）上的有60份，重量在（单位：克）上的有40份.
(1)李师傅的儿子刚参加完2022年高考，准备于6月9日在家中招待几名同学，李师傅为此在平台上网购了4份水果，记这4份水果中，重量不少于1000克的有份，试以这100天的频率作为概率，求的分布列与数学期望；
(2)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.记李师傅这100天购买的每份水果平均重量为克，试利用该结论来解决下面的问题：
①求；
②如果李师傅这100天得到的水果的重量都落在（单位：克）上，且每份水果重量的平均值，李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果缺斤少两，试从概率角度说明李师傅的举报是有道理的.
附：①随机变量服从正态分布，则
②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不㕕发生.

9 . 已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（       ）

A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈；

B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；

C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%；

D．以上说法都不对．

10 . 在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）