1 . 小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．
(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；
(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．

2 . 某校举办“复兴杯”围棋比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为，若乙先下，则乙赢的概率为，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下．
(1)求比赛四局乙赢的概率；
(2)已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率．

3 . 以下结论正确的是（       ）

A．若是互斥事件，，则

B．事件两两独立，则

C．甲乙两名同学参加抽奖，事件“甲乙都中奖”的对立事件是“甲乙至多一人中奖”

D．连续抛一枚骰子两次，记录朝上点数，设“第二次朝上的点数为2”，“两次朝上的点数之和为”，则与相互独立

4 . 在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录.甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为，乙每次射中十环的概率为，在每次射击中，甲和乙互不影响.已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为.
(1)求；
(2)甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环次的概率.

5 . 某校为丰富教职工业余文化活动，在教师节活动中举办了“三神杯”比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，每一局比赛中甲组获胜的概率为，且甲组最终获得冠军的概率为（每局比赛没有平局）.
(1)求；
(2)已知冠军奖品为28个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如果比赛继续进行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个篮球?

6 . 某同学尝试运用所学的概率知识研究如下游戏规则设置：游戏在两人中进行，参与者每次从装有3张空白券和2张奖券的盒子中轮流不放回地摸出一张，规定摸到最后一张奖券或能判断出哪一方获得最后一张奖券时游戏结束，能够获得最后一张奖券的参与者获胜．
(1)从胜负概率的角度，判断游戏规则设置是否公平；
(2)设游戏结束时参与双方摸券的次数为X，求随机变量X的分布列．

7 . 为庆祝第113个国际妇女节，某学校组织该校女教职工进行篮球投篮比赛，每名教师连续投篮3次根据教师甲练习时的统计数据，该教师第一次投篮命中的概率为0.6，从第二次投篮开始，若前一次投篮命中，则该次命中的概率为0.8，否则，命中概率为0.6．
(1)求教师甲第二次投篮命中的概率；
(2)求教师甲在3次投篮中，命中的次数X的分布列和数学期望．

8 . 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.

9 . 2022世界乒乓球团体锦标赛已于2022年9月30日至10月9日在成都举行.近年来，乒乓球运动早已成为我国民众喜爱的运动之一.某次友谊赛，甲、乙两位选手进行比赛，比赛采用5局3胜制，若结果是3：0或3：1，则胜者得3分，负者得0分﹔若结果是3：2，则胜者得2分，负者得1分.根据以往经验，甲乙在一局比赛获胜的概率分别为，，且每局比赛结果相互独立
(1)设甲所得积分为，求的分布列及数学期望；
(2)由于某种原因，比赛规则改为未满5局已领先2局者获胜﹔若打满5局，仍然没有领先2局者，比赛结束，领先者也获胜，求甲获胜的概率.

10 . 下列说法正确的是（       ）

A．一批文具中有12件正品，4件次品，从中任取3件，则取得1件次品的概率为

B．相关系数越接近1，两变量的线性相关程度越强

C．若 ，，则

D．若， ， ，则