名校
解题方法
1 . 2022年11月，因受疫情的影响，北京高中全都采用网络授课的方式进行在线教学．北京35中的某老师在高一任教高一1班和高一2班两个班级，其中1班共有学生28人，2班共有学生29人．为了研究学生的学习主动性是否会受到疫情的影响，该名老师统计了连续6天的交作业人数情况，数据如下表：
(1)从两班所有人当中，随机抽取1人，求该生在第6天作业统计当中，没有交作业的概率；
(2)在高一2班的前3天的作业统计当中，发现只有小明和小华两位同学，是连续3天未交作业，其他人均只有一天未交作业．从高一2班前3天所有未交作业的人中，随机抽取3人，记只有一天未交作业的人数为X，求X的分布列和期望；
(3)在这6次数据统计中，记高一1班每天交作业的人数数据的方差为
，每天没交作业的人数数据的方差为
，记高一2班每天交作业的人数数据的方差为
，每天没交作业的人数数据的方差为
，请直接写出，，，的大小关系．
班级/天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1班（人数） | 25 | 25 | 20 | 21 | 22 | 21 |
2班（人数） | 27 | 26 | 25 | 24 | 25 | 22 |
(2)在高一2班的前3天的作业统计当中，发现只有小明和小华两位同学，是连续3天未交作业，其他人均只有一天未交作业．从高一2班前3天所有未交作业的人中，随机抽取3人，记只有一天未交作业的人数为X，求X的分布列和期望；
(3)在这6次数据统计中，记高一1班每天交作业的人数数据的方差为
，每天没交作业的人数数据的方差为，记高一2班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，请直接写出，，，的大小关系．
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名校
2 . 为了解甲、乙两厂的产品质量，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取了几件测量产品中的微量元素
的含量（单位：毫克）．规定微量元素的含量满足：
（单位：毫克）为优质品．甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下：
(1)从乙厂抽取的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中优质品数
的分布列及其数学期望；
(2)从甲乙两厂的产品中各随机抽取2件，求其中优质品数之和为2的概率；
(3)在（2）的条件下，写出甲乙两厂的优质品数之和
的数学期望．（结论不要求证明）
的含量（单位：毫克）．规定微量元素的含量满足：（单位：毫克）为优质品．甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下：
| 含量 | 频数 |
 | 1 |
 | 2 |
 | 4 |
 | 2 |
 | 1 |
(1)从乙厂抽取的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中优质品数
的分布列及其数学期望；(2)从甲乙两厂的产品中各随机抽取2件，求其中优质品数之和为2的概率；
(3)在（2）的条件下，写出甲乙两厂的优质品数之和
的数学期望．（结论不要求证明）
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名校
解题方法
3 . 第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：
(1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记
为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望
；
(3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“
”表示小明在周六看到单人雪橇，“
” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“
”表示小明在周日看到单人雪橇，“
”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差
，
的大小关系．
12月16日 | 星期六 | 9:30 | 单人雪橇第1轮 |
10:30 | 单人雪橇第2轮 | ||
15:30 | 双人雪橇第1轮 | ||
16:30 | 双人雪橇第2轮 | ||
12月17日 | 星期日 | 9:30 | 单人雪橇第3轮 |
10:30 | 单人雪橇第4轮 | ||
15:30 | 团体接力 |
(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记
为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望；(3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“
”表示小明在周六看到单人雪橇，“” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，的大小关系．
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2024-03-12更新
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964次组卷
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3卷引用：北京市第八十中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
4 . 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：
男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；
女生：5，5，6，7，8，9，11，13．
假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．
(1)根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；
(2)现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望；
(3)现增加一名女生
得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为
，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明）
男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；
女生：5，5，6，7，8，9，11，13．
假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．
(1)根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；
(2)现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记
为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望；(3)现增加一名女生
得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明）
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2023-07-10更新
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423次组卷
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2卷引用：北京市西城区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
解题方法
5 . 近年来，为改善城市环境，实现节能减排，许多城市出台政策大力提倡新能源汽车的使用.根据中国汽车流通协会的发布会报告，将2023年1月、2月新能源乘用车市场销量排名前十的城市及其销量统计如下表：
表1
表2
(1)从1月、2月这两个月中随机选出一个月，再从选出这个月中新能源乘用车市场销量排名前十的城市中随机抽取一个城市，求该城市新能源汽车销量大于10 000的概率;
(2)从表1、表2的11个城市中随机抽取2个不同的城市，设这两个城市中2月排名比1月上升的城市的个数为，求的分布列及数学期望.
表1
2023年1月 | ||
排名 | 城市 | 销量 |
1 | 上海 | 12 370 |
2 | 深圳 | 12 132 |
3 | 成都 | 8 755 |
4 | 杭州 | 8 718 |
5 | 郑州 | 8 673 |
6 | 广州 | 8 623 |
7 | 重庆 | 7 324 |
8 | 西安 | 6 851 |
9 | 天津 | 6 649 |
10 | 苏州 | 6 638 |
2023年2月 | ||
排名 | 城市 | 销量 |
1 | 上海 | 17 707 |
2 | 杭州 | 15 001 |
3 | 深圳 | 13 873 |
4 | 广州 | 12 496 |
5 | 郑州 | 11 934 |
6 | 成都 | 11 411 |
7 | 重庆 | 8 712 |
8 | 北京 | 8 701 |
9 | 苏州 | 8 608 |
10 | 西安 | 7 680 |
(1)从1月、2月这两个月中随机选出一个月，再从选出这个月中新能源乘用车市场销量排名前十的城市中随机抽取一个城市，求该城市新能源汽车销量大于10 000的概率;
(2)从表1、表2的11个城市中随机抽取2个不同的城市，设这两个城市中2月排名比1月上升的城市的个数为
，求的分布列及数学期望.
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解题方法
6 . 某保险公司2022年的医疗险理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下：
注：第1组中的数据13%表示0-5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%；
24%表示0-5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%．其它组类似．
(1)根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论；
(2)用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数记为，求的分布列及数学期望；
(3)根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由．
注：第1组中的数据13%表示0-5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%；
24%表示0-5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%．其它组类似．
(1)根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论；
(2)用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数记为
，求的分布列及数学期望；(3)根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由．
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7 . 现有
人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为
，是否患有该疾病相互独立．
(1)按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列；
(2)化验方案
：先将这人随机分成两组，每组
人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且
，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？
人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立．(1)按照方案
化验，求这人的总化验次数的分布列；(2)化验方案
：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？
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名校
8 . 某中学羽毛球兴趣小组有甲、乙、丙三位组员，在单打比赛中，没有平局，且甲赢乙的概率为0.5，甲赢丙的概率为0.6．甲想挑战乙和丙．于是甲和乙、丙两位组员各自进行了一场比赛．
(1)若甲两场比赛都赢了，则挑战成功，求甲挑战成功的概率；
(2)设甲赢的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
(1)若甲两场比赛都赢了，则挑战成功，求甲挑战成功的概率；
(2)设甲赢的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
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2023-06-14更新
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279次组卷
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4卷引用：北京市怀柔区第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷
北京市怀柔区第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷北京高二专题12概率与统计（第二部分）（已下线）模块一 专题2 概率(北师大2019版）（已下线）模块一 专题4 随机变量及其分布 (人教A）
名校
9 . 体温是人体健康状况的直接反应，一般认为腋下温度
（单位：
）超过
即为发热，按不同体温范围可分成以下四种发热类型：
低热：
；中度热：
；
高热：
；超高热（有生命危险）：
某患者因肺炎发热，住院治疗，医生记录了该患者15天治疗期间的腋下温度：
(1)患者好友计划在15天中随机选择1天来病房探望患者，求探望当天患者腋下温度处于高热的概率；
(2)住院期间，医生需取患者静脉血做血常规检查，若在第4天至第8天期间，医生随机选择3天取静脉血，记为高热体温下的取血天数，试求的分布列与数学期望；
(3)治疗期间，医生根据病情变化，前后共使用三种不同的抗生素（见表）对患者进行治疗，请结合表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.
（单位：）超过即为发热，按不同体温范围可分成以下四种发热类型：低热：
；中度热：；高热：
；超高热（有生命危险）：某患者因肺炎发热，住院治疗，医生记录了该患者15天治疗期间的腋下温度：
抗生素 | 没有使用 | 使用“呋辛钠”治疗 | 使用“拉氧”治疗 | |||||||||||
治疗天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||
腋下温度（ | 39.4 | 39.9 | 40.2 | 40.5 | 40.1 | 39.1 | 38.9 | 39.0 | ||||||
抗生素 | 使用“泰能”治疗 | 没有使用 | ||||||||||||
治疗天数 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |||||||
腋下温度（ | 38.5 | 38.0 | 37.6 | 37.1 | 36.8 | 36.6 | 36.3 | |||||||
(2)住院期间，医生需取患者静脉血做血常规检查，若在第4天至第8天期间，医生随机选择3天取静脉血，记
为高热体温下的取血天数，试求的分布列与数学期望；(3)治疗期间，医生根据病情变化，前后共使用三种不同的抗生素（见表）对患者进行治疗，请结合表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.
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名校
解题方法
10 . 某研究小组在进行一项水质监测实验，受取样环境所限，每次取得的水样均有
的概率受到污染而无法用于研究，假设每次取样互不影响.
(1)研究小组取样2次，求水样均受到污染的概率；
(2)研究小组取样3次，记3份水样中受到污染的水样数量为，求的分布列及数学期望；
(3)已知取出的100份水样中，有2份水样受到污染，为筛选出污染的水样，研究小组将100份水样分成10组，每组10份；将每组的各份水样分别取一小部分进行混合，对所有混合物进行逐份检测，若无污染，则可确定该组水样无污染，否则还需对该组所有水样逐份检测. 若两份污染水样不在同一组，则检测次数是多少？（直接写出结论）
的概率受到污染而无法用于研究，假设每次取样互不影响.(1)研究小组取样2次，求水样均受到污染的概率；
(2)研究小组取样3次，记3份水样中受到污染的水样数量为
，求的分布列及数学期望；(3)已知取出的100份水样中，有2份水样受到污染，为筛选出污染的水样，研究小组将100份水样分成10组，每组10份；将每组的各份水样分别取一小部分进行混合，对所有混合物进行逐份检测，若无污染，则可确定该组水样无污染，否则还需对该组所有水样逐份检测. 若两份污染水样不在同一组，则检测次数是多少？（直接写出结论）
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