1 . 为了推动“体育助力乡村振兴”，丰富人民群众的文化生活，某地决定举办“村超”足球友谊赛.比赛邀请本地两支村足球队（实力相当）和外地两支村足球队（实力相当）参加.赛事规定：（1）比赛分为两个阶段，第一阶段：四支球队分成两组，每组进行一场比赛；第二阶段：第一阶段的胜者之间、负者之间各进行一场比赛，前者决出第一、二名，后者决出第三、四名.（2）第一阶段分组方案：采取抽签法，每组本地一支球队、外地一支球队.已知各场比赛的胜率和上座率均互相独立，单场比赛的胜率和上座率如下：

胜率	本地队	外地队
本地队	0.5	0.6
外地队	0.4	0.5
上座率	本地队	外地队
本地队	0.8	1
外地队	1	0.8

(1)第二阶段两场比赛上座率之和记为，求的分布列和数学期望；
(2)求本地足球队获得第一名的概率.

2 . 一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．
(1)求该款行李箱密码的不同种数；
(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．

3 . 某学科测试题有多项选择题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；…．学生在作答某题时，对四个选项能正确地判断，判断不了（不选）和错误的判断的概率如下表：

选项	作出正确的判断	判断不了（不选）	作出错误的判断
A	0.4	0.2	0.4
B	0.2	0.3	0.5
C	0.6	0.3	0.1
D	0.5	0.3	0.2

已知此题的正确选项为AD．
(1)求学生答此题得6分的概率；
(2)求学生此题得分的分布列及数学期望．

4 . 某居民小区某栋楼共有10户家庭入住，若该楼住户在2024年4月的用电量（单位：度）如下图所示：

   

若电力公司组织了线上抽奖活动，各住户抽奖相互独立，但对用电量不同的住户，系统设定了如下中奖率：

用电量
中奖率	50%	50%

(1)在该楼中随机抽取一户家庭，求其4月用电量不低于30度的概率；
(2)在该楼随机抽取2户家庭，以X表示中奖的户数，试求X的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，在该小区随机抽取2户家庭，以Y表示中奖的户数，试比较与的大小关系.（结论不要求证明）

5 . 现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为，若抛中的是正面，则收益的手中金额；否则亏损的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为元，记为抛硬币次数，为经历次抛硬币后手中的金额.

(1)若，求的分布列；
(2)如图，横坐标表示，纵坐标表示，在图中描出所有可能取值对应的，并求出当、1、2、3时盈利的概率；
(3)综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）.

6 . 某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”．
(1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
(2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率．

7 . 为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为．
(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望；
(2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率．
（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；
（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．

8 . 不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验．
(1)若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量，求的分布列与数学期望；
(2)若试验可以一直进行下去，第次试验成功的概率记为，求证：．

9 . 某机床厂生产一种精密零件，因生产流程比较复杂，所以成功率较低．从该厂某台机床生产的一批零件中，有放回的抽取3次，每次随机抽取1个，取出的3个零件中至多有2个是合格品的概率是．假设这台机床生产的任意1个这种零件是合格品的概率相同，且每个零件生产之间互不影响．
(1)求从该批零件中任取1个是合格品的概率；
(2)若这种零件合格品每个利润为10万元，不合格品的每个利润为万元．现该机床生产4个这种零件，记这4个零件的利润为万元，求的分布列及数学期望．

10 . 为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘．一段时间后，再从鱼塘中捞出条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数．已知，设第二次捞出的条鱼中身上有标记的鱼的数目为随机变量．
(1)若已知，．
①求的均值；
②是否有的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于）？
(2)若，其中身上有标记的鱼有条，估计池塘中鱼的总数（将使最大的作为估计值）．
参考数据：，，，．