名校
解题方法
1 . 某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为
，罚不进的概率为
，每次罚球相互独立．
(1)若该队员罚点球4次，记积分为
，求的分布列与数学期望；
(2)记点球积
分的概率为
．
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）求
．
，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．(1)若该队员罚点球4次，记积分为
，求的分布列与数学期望；(2)记点球积
分的概率为．（ⅰ）求
的值；（ⅱ）求
．
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2024-02-25更新
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1704次组卷
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5卷引用：1号卷·A10联盟2022届全国高考第一轮总复习试卷数学（理科）试题（二十一）
2023·江西·二模
解题方法
2 . 李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球
和3个小球
，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为
，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个
和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个| A．1.2 | B．1.6 | C．1.8 | D．2 |
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2023-04-10更新
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1765次组卷
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6卷引用：模块八 专题5 以概率与统计为背景的压轴小题
（已下线）模块八 专题5 以概率与统计为背景的压轴小题（已下线）第六节 离散型随机变量的数字特征 B卷素养养成卷 一轮复习点点通（已下线）专题7.10 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）【练】专题三 复杂背景的概率计算问题（压轴大全）（已下线）第三章 随机变量及其分布列 专题一 随机变量的期望 微点3 随机变量的分布列、期望综合训练【培优版】（已下线）江西省名校协作体联盟2023届高三第二次联考模拟考试数学(理)试题
名校
解题方法
3 . 已知离散型随机变量X的分布列如下，则
的最大值为（ ）
的最大值为（ ）X | 0 | 1 | 2 |
P | a |
|
|
| A． | B． | C． | D．1 |
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2024-02-17更新
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1626次组卷
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11卷引用：河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷
河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷（已下线）7.3.2离散型随机变量的方差（分层练习，8大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册） 河南省部分重点高中（青桐鸣）2023-2024学年高三上学期期末大联考数学试题（已下线）专题02 分布列与其数字特征的应用-1（已下线）7.3离散型随机变量的数字特征 第二练 强化考点训练辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期4月考试数学试卷（已下线）7.3.2 离散型随机变量的方差——课后作业（巩固版）（已下线）7.3 离散型随机变量的数字特征（6大题型）精练-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）必考考点6 离散型随机变量与分布列 专题讲解 (期末考试必考的10大核心考点) （已下线）第三章 随机变量及其分布列 专题二 随机变量的方差 微点2 随机变量的方差综合训练【培优版】（已下线）第8章 概率单元综合能力测试卷-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）
名校
4 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行
次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为
，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）A． | B． |
C．数列 是等比数列 | D．的数学期望 |
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2023-05-20更新
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1726次组卷
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7卷引用：辽宁省辽东区域教育科研共同体2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
辽宁省辽东区域教育科研共同体2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）第四篇 概率与统计 专题6 随机游走与马尔科夫过程 微点2 随机游走与马尔科夫过程综合训练（已下线）第十章 概率统计 专题2 马尔科夫链问题 一题多解（已下线）专题8-2分布列综合归类-1（已下线）第31题 概率分布列与数列交汇（高二期末每日一题）甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期期末学业质量检测数学试题宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
名校
5 . 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为
,由妻子驾车的概率为
;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列
的通项公式．
,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为
,求数列的通项公式．
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2023-02-23更新
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1678次组卷
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8卷引用：安徽省亳州市蒙城第一中学2023届高三下学期开学考试数学试题
安徽省亳州市蒙城第一中学2023届高三下学期开学考试数学试题山西省三重教育2023届高三下学期2月联考数学试题山西省朔州市怀仁市第一中学校2023届高三下学期2月月考数学试题（已下线）第四篇 概率与统计 专题6 随机游走与马尔科夫过程 微点2 随机游走与马尔科夫过程综合训练（已下线）重难点突破01 数列的综合应用 （十三大题型）-2（已下线）第十章 概率统计 专题2 马尔科夫链问题 一题多解山西省名校2022-2023学年高二下学期7月期末联合测评数学试题江西省上高二中2024届高三第三次月考（10月）数学试题
名校
6 . 某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品
分为两类不同剂型
和
．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和
，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为
和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为
且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为
，若当
时，最大，求
的值．
分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．(1)设经过两次检测后两类试剂
和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品
进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．
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2022-12-17更新
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3485次组卷
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8卷引用：专题10 概率与统计的综合运用（精讲精练）-1
（已下线）专题10 概率与统计的综合运用（精讲精练）-1（已下线）专题10-2 概率统计（解答题）-2（已下线）专题3 解答题题型安徽省阜阳市第四中学2023届高三下学期第一次月考数学试题（已下线）第7章 随机变量及其分布 单元综合检测（已下线）模块八 专题10 以概率与统计为背景的压轴大题黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第五次模拟考试数学试卷山东省新高考联合质量测评2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题
名校
7 . 袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
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2024-02-10更新
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1622次组卷
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5卷引用：第七章 随机变量及其分布（单元重点综合测试）(19题新结构）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）
（已下线）第七章 随机变量及其分布（单元重点综合测试）(19题新结构）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）河南省许昌市部分学校2024届高三下学期高考冲刺（一）数学试题江苏省南通市如皋市2024届高三上学期1月诊断测试数学试题湖北省孝感市高级中学2024届高三上学期期末数学试题（已下线）8.2 离散型随机变量及其分布列（1）
名校
8 . 甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球
次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为
．
(1)当
时，求球又回到甲手中的概率；
(2)当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；
(3)记
，求证：数列
从第3项起构成等比数列，并求．
次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为．(1)当
时，求球又回到甲手中的概率；(2)当
时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；(3)记
，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求．
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名校
9 . 某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩
.
(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
(2)甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为
.设这三名应聘人员中通过面试的人数为
，求随机变量的分布列和数学期望
.
参考数据：若
，则
，
.(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
(2)甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为
.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若
，则，
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2023-12-28更新
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1944次组卷
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5卷引用：7.5正态分布练习
7.5正态分布练习（已下线）考点14 正态分布 2024届高考数学考点总动员【练】江苏省镇江市丹阳高级中学2024届高三下学期2月阶段检测数学试题（已下线）专题21 概率与统计的综合运用（13大核心考点）（讲义）江苏省南通市海安高级中学2024届高三上学期12月月考数学试题
名校
10 . 近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：
(1)根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程；
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布
，其中
为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.
①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用
表示其中高考成绩在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式：
，
.
参考数据：
，
，
| 年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 该校最低提档分数线 | 510 | 511 | 520 | 512 | 526 |
| 数学专业录取平均分 | 522 | 527 | 540 | 536 | 554 |
提档线与数学专业录取平均分之差 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 |
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布
，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用
表示其中高考成绩在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.参考公式：
，.参考数据：
，，
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2023-02-15更新
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1711次组卷
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8卷引用：专题9-1 概率与统计及分布列归类（理）（讲+练）-1
（已下线）专题9-1 概率与统计及分布列归类（理）（讲+练）-1（已下线）第8章 成对数据的统计分析（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（分层作业）辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三高考适应性测试（二）数学试题（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（2）（已下线）专题3 变量的相关性、回归分析压轴大题（过关集训）江西省重点中学协作体2022-2023学年高二下学期第一次（2月）联考数学试题（已下线）9.1.2线性回归方程（2）
