1 . 为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取3次．已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次．
（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
（2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望．

2 . 型口罩，指可以对空气动力学直径物理直径为的颗粒的过滤效率达到以上的口罩.疫情发生后，全国型口罩市场供应紧缺.某医疗科技有限公司立即扩大产能，在原来生产线的基础上，增设生产线，为疫情防控一线供应医用口罩.为了监控口罩生产线的生产过程，检验员每天需要从两条生产线上分别随机抽取口罩检测过滤效率.公司规定过滤效率大于的产品为一等品，并根据检验员抽测产品中一等品的数量对两条生产线进行评价.下面是该检验员某一天抽取的个口罩的过滤效率值：
生产线口罩过滤效率

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
过滤效率	0.958	0.967	0.964	0.976	0.956	0.973	0.965	0.968	0.972	0.973

生产线口罩过滤效率

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
过滤效率	0.978	0.982	0.974	0.966	0.976	0.982	0.977	0.974	0.976	0.972

（1）根据检验员抽测的数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把提认为生产线与所生产的产品为一等品有关？

生产线	产品是一等品	产品不是一等品	总计
总计

（2）将检验员抽测产品中一等品的频率视为概率，从、两条生产线生产的产品中各抽取件，设为其中一等品的件数，求的分布列及数学期望.
附：，其中.

3 . 某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为，，，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量，求随机变量的分布列及其期望值．

4 . 某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：

等级	一等品	二等品	三等品	四等品
数量	40	30	10	20

（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
（2）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望；
（3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为22元/件．
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下，

等级	一等品	二等品	三等品	四等品
售价/（元/件）	24	22	18	16

根据样本估计总体，从采购商的角度考虑，应该选择哪种销售方案？请说明理由．

5 . 学校准备购买三台打印机，型号分别为，，，已知这三台打印机均使用同一种易耗品．提供打印机的商家规定：在购买打印机的同时购买易耗品，每件易耗品的价格为100元，在打印机使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元．为了决策在购买打印机时，应同时购买易耗品的件数，学校调查了这三种型号的打印机各60台，调查每台打印机在一个月中使用易耗品的件数，并得到统计表（如下所示）：

每台打印机一个月中使用的易耗品的件数		6	7	8
频数	型号	30	30	0
	型号	20	30	10
	型号	0	45	15

将调查的每种型号的打印机在一个月中使用易耗品的频率视为概率，各台打印机在易耗品的使用上相互独立．
（1）求一个月中，，三台打印机使用的易耗品总数超过21件的概率；
（2）以学校一个月购买易耗品所需总费用的数学期望为决策依据，问学校在购买打印机时应同时购买20件还是21件易耗品？

6 . 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:

(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；
(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X，求随机变量X的分布列及均值E(X);
(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小.(只需写出结论)

7 . 体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：）平均在之间即为正常体温，超过即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：．某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午服药，护士每天下午为患者测量腋下体温记录如下：

抗生素 使用情况	没有使用		使用“抗生素A”治疗			使用“抗生素B”治疗
日期	12日	13日	14日	15日	16日	17日	18日	19日
体温	38.7	39.4	39.7	40.	39.9	39.2	38.9	39.0

抗生素使用情况	使用“抗生素C”治疗			没有使用
日期	20日	21日	22日	23日	24日	25日	26日
体温	38.4	38.0	37.6	37.1	36.8	36.6	36.3

（1）请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值；
（2）在19日23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，记X为高热体温下做“项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；

8 . 一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．
（1）求袋子内黑球的个数；
（2）求的分布列与均值．

9 . 刷脸时代来了，全国各地不少大型超市迅速推出“刷脸支付”的服务，消费者购物再不用排长龙等买单，只要刷个脸、输入个手机号，分钟迅速结账.人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查，并从参与的被调查者中随机抽取人（中老年、青少年各人），得到这人对“刷脸支付”安全满意度的中位数为，根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.

（1）已知抽取的这人中对“刷脸支付”安全满意度高于平均数的中老年人有人，判断是否有的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关？（注：每组数据以区间的中点值为代表）
（2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：
方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动，活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球则返消费金额的，除此之外不返现金.
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动.
现小张在该大型超市购买了总价为元的商品.
①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；（精确到小数点后一位数字）
②试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：参考公式及临界值表：，.

10 . 已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.
（1）求乙盒中红球个数的分布列与期望；
（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率.