1 . 某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
(1)若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

2 . “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.
(1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
(2)如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；
(3)若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望.

3 . 2020年数学竞赛试行改革：某市在高二年级中举行五次联合竞赛，学生如果有两次成绩达到该市前20名即可直接进入省队培训，不用参加剩余的竞赛，且每名学生至少参加两次竞赛，最多也只能参加五次竞赛．规定：若前四次竞赛成绩均没有进入全市前20名，则不能参加第五次竞赛．假设某学生每次成绩达全市前20名的概率均为，每次竞赛成绩达全市前20名与否互相独立
（1）求该学生进入省队的概率；
（2）如果该学生进入省队或参加完五次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及数学期望．

4 . 在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成、、三个项目.已知选手甲完成、、三个项目的概率分别为、、，每个项目之间相互独立.
(1)选手甲对、、三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率.
(2)该活动要求项目、各做两次，项目做三次.若两次项目均完成，则进行项目，并获得积分；两次项目均完成，则进行项目，并获积分；三次项目只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分（积分不累计），且每个项目之间互相独立.用表示选手甲所获积分的数值，写出的分布列并求数学期望.

5 . 学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：

	古文迷	非古文迷	合计
男生	26	24	50
女生	30	20	50
合计	56	44	100

       （Ⅰ）根据表中数据能否判断有的把握认为“古文迷”与性别有关？
       （Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；
       （Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
	0.455	0.708	1.321	3.841	5.024	6.635

6 . 《中国好声音（The Voice of China）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：

现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.
(1)求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率；
(2)记选出的2人导师为其转身的人数之和为，求的分布列及数学期望.

7 . 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；
（2）求恰好得到分的概率.

8 . 某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查．活动结束后，团委会对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：

年龄（岁）	[10,20）	[20,30）	[30,40）	[40,50）	[50,60）	[60,70]
频数	m	n	15	10	7	3
知道的人数	4	6	12	6	3	2

表中所调查的居民年龄在[10,20），[20,30），[30,40）的人数成等差数列．
(1)求上表中的m，n值，若从年龄在[20,30）的居民中随机选取两人，求这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率；
(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20），[20,30）的居民中各随机选取2人参加消防知识讲座，记选中的4人中不知道灭火器使用方法的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

9 . 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记分，白球记分，黄球记分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为，，设为坐标原点，点的坐标为，记．
（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（2）求随机变量的分布列和数学期望．

10 . 由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个．
（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数，至少存在另一个正整数
，且，使得”的概率；
（2）记为组成该数的相同数字的个数的最大值，求的概率分布列和数学期望．