1 . 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为 ，每次中奖与否相互不影响. 中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.
(1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.
(2)在（1）的条件下，已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算? 请说明理由.

2 . 某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4即视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.
(1)试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）；
(2)在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元.求100箱该产品利润的期望值.
附：若随机变量服从正态分布，则，

3 . 某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动，凡购物金额超过m元的顾客参加一次抽奖．抽奖规则如下：从装有大小、形状完全相同的4个黑球2个红球的盒子中随机取2个小球，若2个小球都为红色，则获100元奖金；若2个小球为1红1黑，则获30元奖金；若2个小球都为黑色，则获10元奖金．

(1)记参加抽奖的一名顾客获得奖金为X元，求X的概率分布列和数学期望；
(2)该超市去年店庆日共有3000名顾客购物，统计购物金额得到如下的频率分布直方图．若今年抽奖活动总奖金预设为12000元，依据去年店庆日的数据，给出合理的m的值，并说明理由．

4 . 某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下：(1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到）
(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？
参考数据：.附：相关系数.

5 . 卡塔尔世界杯的吉祥物“拉伊卜”引发网友和球迷喜爱，并被亲切地称为“饺子皮”.某公司被授权销售以“拉伊卜”为设计主题的精制书签.该精制书签的生产成本为50元/个，为了确定书签的销售价格，该公司对有购买精制书签意向的球迷进行了调查，共收集了200位球迷的心理价格来估计全部球迷的心理价格分布.这200位球迷的心理价格对应人数比例分布如下图：

   
若只有在精制书签的销售价格不超过球迷的心理价格时，球迷才会购买精制书签.公司采用常见的饥饿营销的方法刺激球迷购买产品，规定每位球迷最多只能购买一个该精制书签.设每位球迷是否购买该精制书签相互独立，精制书签的销售价格为元/个().
(1)若，已知某时段有3名球迷有购买意向而咨询公司，设为这3名球迷中购买精制书签的人数，求的分布列和期望；
(2)假设共有名球迷可能购买该精制书签，请比较当精制书签的售价分别定为70元和80元时，哪种售价对应的总利润的期望最大?

6 . 某车间购置了三台机器，这种机器每年需要一定次数的维修，现统计了100台这种机器一年内维修的次数，其中每年维修2次的有40台，每年维修3次的有60台，用代表这三台机器每年共需要维修的次数.
(1)以频率估计概率，求的分布列与数学期望；
(2)维修厂家有两家，假设每次仅维修一台机器，其中厂家单次维修费用是550元，厂家对同一车间的维修情况进行记录，前5次维修费用是每次600元，后续维修费用每次递减100元，从每年的维修费用的期望角度来看，选择哪家厂家维修更加节省？

7 . 王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利，产品B的一年后盈亏情况的分布列如下（表中）：

盈亏情况	获利	不赔不赚	亏损
概率			p

(1)如果王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值．
(2)该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B的投资额的但不超过1200元．王先生应该如何分配两个产品的投资额，才能使一年后投资收益（含鼓励金）的期望值最大，最大为多少？

8 . 某公司生产一种消毒液，为测试消杀效果，测试车间用该消毒液对8个染菌不锈钢载片进行测试：第一轮测试，逐一对着8个载片进行消杀检测，若检测出不超过1个载片没有消杀效果，则该消毒液合格，测试结束；否则，10分钟后对没有产生消杀效果的载片进行第二轮测试，如果第二轮被测试的载片都产生消杀效果，则消毒液合格，否则需要对该消毒成分进行改良．假设每个染菌载片是否产生消杀效果相互独立，每次消杀检测互不影响，且每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为．
(1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率；
(2)每进行一次载片测试视为一次检测，设检测次数的数学期望为，求证：．

9 . “动态清零”是目前我国在新冠肺炎疫情防控中坚持的一个基本原则和目标.“动态清零”就是当出现本土疫情时，政府各部门迅速行动，“发现一起、扑灭一起”，快速切断传播链，保持住社会面无病例的目标.核酸检测是“动态清零”中较为重要的一环，进行核酸检测时，我们将受检者分组，将同一组人员的呼吸道标本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则该组人员检测结果全为阴性；若检验出阳性，则要对该组人员逐个进行检验；这样可以大大减少检验工作量.某社区出现确诊病例，防疫部门决定对社区2000人进行核酸检测.假设随机抽一人核酸检测阳性的概率为0.003.
(1)为了熟悉检验流程，先对5人进行逐个检验，求5人中至少有1人检测结果为阳性的概率；
(2)现有两种分组方式：方案一：10人一组，方案二：20人一组.请你从检测总次数的期望值选择一种方案，并说明理由.（）

10 . 疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有个红球、个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供、两种活动规则：规则：顾客一次性从袋子中摸出个球，如果个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的个球中有个红球，则获得价值元的优惠券；如果摸出的个球中有个红球，则获得价值元的优惠券；如果摸出的个球中没有红球，则不享受优惠．规则：顾客分次从袋子中摸球，每次摸出只球记下颜色后放回，按照次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则相同．
(1)某顾客计划消费元，若选择规则参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望；
(2)若顾客计划消费元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．