1 . 先阅读下列题目的证法，再解决后面的问题．
已知，且，求证：.
证明：构造函数，
则,
因为对一切，恒有,
所以,
从而得.
(1)若，请由上述结论写出关于的推广式；
(2)参考上述证法，请对你推广的结论加以证明．

2 . 已知数列的通项公式，，试求，，的值，由此猜想的计算公式，并用数学归纳法加以证明.

4 . 设，.
（1）分别求在时的值域；
（2）根据（1）中的结论，对时，的取值范围作出一个猜想（只需写出猜想，不必证明）.

5 . 某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的:①;②;③.
（1）已知∈(1.41，1.42)， ∈(1.73，1.74)， ∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算)；
（2）请将此规律推广至一般情形，并加以证明.

6 . 下面四个图案，都是由小正三角形构成.设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为.

（1）求出，，，；
（2）找出与的关系，并求出的表达式；
（3）求证：.

7 . 观察下列等式：



……
（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

8 . 一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为．

（1）求出，，的值；
（2）利用归纳推理，归纳出与的关系式；并猜想的表达式，不需要证明．

9 . 数列中，，前项的和记为．
（1）求的值，并猜想的表达式；
（2）请用数学归纳法证明你的猜想．

10 . 观察下列等式：
；
；
；
；
………
（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.