1 . 设函数y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy.
(1)求f（0）的值；
(2)若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）的值；
(3)在（2）的条件下，猜想f（n）（n∈N^*）的表达式，并用数学归纳法加以证明.

2 . 观察下列各等式：
，
，
．
(1)尝试再写出一个相同规律的式子；
(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．

3 . 用数学归纳法证明某不等式时，其左边，则从“到”应将左边加上________.

4 . 在数列中，，.
(1)分别求出，，，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
(2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想.

5 . 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°- sin（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°- sin（-25°）cos55°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论

6 . 已知：；
；
.
通过观察上述三个等式的规律，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．

7 . 已知数列中，，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

8 . 把“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明

9 . 已知满足，．

（1）求，并猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明对的猜想.