1 . 先阅读下列题目的证法，再解决后面的问题．
已知，且，求证：.
证明：构造函数，
则,
因为对一切，恒有,
所以,
从而得.
(1)若，请由上述结论写出关于的推广式；
(2)参考上述证法，请对你推广的结论加以证明．

2 . 设函数y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy.
(1)求f（0）的值；
(2)若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）的值；
(3)在（2）的条件下，猜想f（n）（n∈N^*）的表达式，并用数学归纳法加以证明.

3 . 观察下列各等式：
，
，
．
(1)尝试再写出一个相同规律的式子；
(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．

4 . 已知数列的通项公式，，试求，，的值，由此猜想的计算公式，并用数学归纳法加以证明.

6 . 设，.
（1）分别求在时的值域；
（2）根据（1）中的结论，对时，的取值范围作出一个猜想（只需写出猜想，不必证明）.

7 . 用数学归纳法证明某不等式时，其左边，则从“到”应将左边加上________.

8 . 观察以下式子：
；
；
；
按此规律归纳猜想第5个等式为__________.（不需要证明）

9 . 在数列中，，.
(1)分别求出，，，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
(2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想.

10 . 下面四个图案，都是由小正三角形构成.设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为.

（1）求出，，，；
（2）找出与的关系，并求出的表达式；
（3）求证：.