1 . 三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：
（1）计算：,,；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.

3 . 已知数列的前项和为，且，.
（1）求，，，并猜想；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.

4 . 在数列中，且.
（1）求出，，；
（2）归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论.

5 . 已知数列的通项公式，，试求，，的值，由此猜想的计算公式，并用数学归纳法加以证明.

6 . 设数列满足，．
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；
（2）令，，证明：．

7 . 设集合，对的每一个4元子集，将其中的元素从小到大排列并取出每个集合中的第2个数，记取出的所有数的和为．
（1）求的值；
（2）求证：为定值．

8 . 设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上.
（1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）.
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，，；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值.
（3）设为数列的前项积，且，求数列的最大项.

9 . 下面四个图案，都是由小正三角形构成.设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为.

（1）求出，，，；
（2）找出与的关系，并求出的表达式；
（3）求证：.

10 . 函数令，．
（1）求并猜想的表达式（不需要证明）；
（2）与相切，求的值．