1 . 已知数列满足

(1)求出项，并由此猜想的通项公式
(2)用数学归纳法证明的通项公式

2 . 已知数列，，．
(1)求、、、；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

3 . 某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的:①;②;③.
（1）已知∈(1.41，1.42)， ∈(1.73，1.74)， ∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算)；
（2）请将此规律推广至一般情形，并加以证明.

4 . 设数列的前项和为，且满足.
（1）求的值，并写出数列的通项公式；
（2）写出用三段论证明数列是等比数列的大提前、小前提、结论.

5 . 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°- sin（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°- sin（-25°）cos55°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论

6 . 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．

（1）求出；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；
（3）求的值．

7 . 先阅读下列题目的证法，再解决后面的问题．
已知，且，求证：.
证明：构造函数，
则,
因为对一切，恒有,
所以,
从而得.
(1)若，请由上述结论写出关于的推广式；
(2)参考上述证法，请对你推广的结论加以证明．

8 . 已知数列满足：，，且．求下表中前行所有数的和．

9 . 已知,分别求,,的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.

10 . 已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出的值（不必证明）