1 . 定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如
的一阶和数列是
，设它的n阶和数列各项和为
．
(1)试求的二阶和数列各项和
与三阶和数列各项和
，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)若
，求
的前n项和
，并证明：
．
的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．(1)试求
的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；(2)若
，求的前n项和，并证明：．
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2 . 有以下真命题：已知等差数列
，公差为d，设
是数列中的任意m个项，若
①，则有
②.
(1)当
时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；
(2)若为等差数列，
，且
，求的通项公式.
(3)试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.
，公差为d，设是数列中的任意m个项，若①，则有②.(1)当
时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；(2)若
为等差数列，，且，求的通项公式.(3)试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.
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名校
解题方法
3 . 数列
满足：
或
对任意i，j，都存在s，t，使得
，其中
且两两不相等.
(1)若
时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①
；②
；③
；
(2)记
，若
证明：
；
(3)若
，求n的最小值.
满足：或对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等.(1)若
时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①；②；③；(2)记
，若证明：；(3)若
，求n的最小值.
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2021-11-27更新
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868次组卷
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5卷引用：北京景山学校2022届高三适应性考试数学试题
北京景山学校2022届高三适应性考试数学试题（已下线）专题04 数列（数学思想与方法）-备战2022年高考数学二轮复习重难考点专项突破训练（全国通用）（已下线）北京市第四中学2022届高三上学期期中考试数学试题北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（已下线）北京市第五十五中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题
4 . 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16,…，这样的数为正方形数.
某同学模仿先贤用石子摆出了如下图3的图形，图3中的2,5,7,9,…，这些数能够表示成梯形，将其称为梯形数.
（1）请写出梯形数的通项公式
（不要求证明），并求数列的前
项和;
（2）若
，数列
的前项和记为，求证：
.
某同学模仿先贤用石子摆出了如下图3的图形，图3中的2,5,7,9,…，这些数能够表示成梯形，将其称为梯形数.
（1）请写出梯形数的通项公式
（不要求证明），并求数列的前项和;（2）若
，数列的前项和记为，求证：.
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2019-02-26更新
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770次组卷
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2卷引用：山东省滨州市滨城区北镇中学2022-2023学年高三上学期数学模拟试题
5 . 由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．
（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；
（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；
（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；
（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；
（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
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