1 . 在平面几何中,你学习了直线与圆的位置关系,那么如何刻画平面与球的位置关系?能得到哪些结果?
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解题方法
2 . 我们知道,在平面中,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.如点在直线l上,为直线l的一个方向向量,则直线l上任意一点满足:,化简可得,即为直线l的方程.类似地,在空间中,给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面.
(1)若在空间直角坐标系中,,请利用平面的法向量求出平面的方程;
(2)试写出平面(A,B,C不同时为0)的一个法向量(无需证明),并证明点到平面的距离为.
(1)若在空间直角坐标系中,,请利用平面的法向量求出平面的方程;
(2)试写出平面(A,B,C不同时为0)的一个法向量(无需证明),并证明点到平面的距离为.
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3 . 有以下命题:设,,…是公差为的等差数列中任意项,若(,,且),则;特别是,当时,称为,,…的等差平均项.
(1)已知等差数列的通项公式为,根据上述命题,则,,,的等差平均项为:______ ;
(2)将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中:设,,…,是公比为的等比数列中任意项,若(,,且),则______ ;特别是,当时,称为,,…,的等比平均项.
(1)已知等差数列的通项公式为,根据上述命题,则,,,的等差平均项为:
(2)将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中:设,,…,是公比为的等比数列中任意项,若(,,且),则
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4 . 平面向量的基本定理:如果、是平面上两个不平行的向量,那么该平面上的任意向量,存在唯一的一对实数、,使得.类推得到空间向量的基本定理:如果、、是______ ,那么对空间中的任意向量,______ ,使得______ .
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21-22高二·江苏·课后作业
解题方法
5 . 对任意的等差数列,计算,,,,…你发现了什么一般规律?能将发现的规律推广吗?在等比数列中有怎样类似的结论?
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6 . 已知一元三次方程的三个根分别为、、,请类比一元二次方程的韦达定理的证明,给出一元三次方程的根与系数的关系并且给出相应证明.
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20-21高一·全国·课后作业
7 . 类比是根据两个对象在某些方面的相同或相似,推出它们在其他方面的相同或相似的一种推理方法.由于类比推理所得结论的真实性并不可靠,因此它不能作为严格的数学推理方法,但它是提出新问题和获得新发现的源泉.平面几何和立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的,因此,在二者之间进行类比是研究它们性质的一种非常有效的方法.为了对二者进行类比,可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系:
平面 空间
点 → 点或直线
直线 → 直线或平面
平面图形→ 平面图形或立体图形
请你探究:
(1)对勾股定理进行类比,在空间能得到什么结论?
(2)在平面内,不共线的三点确定一个圆.那么在空间有什么类似的命题?
平面 空间
点 → 点或直线
直线 → 直线或平面
平面图形→ 平面图形或立体图形
请你探究:
(1)对勾股定理进行类比,在空间能得到什么结论?
(2)在平面内,不共线的三点确定一个圆.那么在空间有什么类似的命题?
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8 . 假设半径为r的圆的面积为,我们用下面的方法推出圆的周长公式.
如图,设h是一个正数,考查半径分别为r和的两个同心圆所围成的圆环(图中阴影区域).这个圆环的面积为
.
可以看出,,其中是以小圆周长为长、h为宽的矩形的面积,是以大圆周长为长、h为宽的矩形的面积.
所以有,即.
如果h越来越小(趋于0),那么大圆的周长C趋近于小圆的周长c,且趋于0,因此我们得到
,
从而.
用类似的方法证明:假设半径为R的球的体积为,那么球的表面积为.
如图,设h是一个正数,考查半径分别为r和的两个同心圆所围成的圆环(图中阴影区域).这个圆环的面积为
.
可以看出,,其中是以小圆周长为长、h为宽的矩形的面积,是以大圆周长为长、h为宽的矩形的面积.
所以有,即.
如果h越来越小(趋于0),那么大圆的周长C趋近于小圆的周长c,且趋于0,因此我们得到
,
从而.
用类似的方法证明:假设半径为R的球的体积为,那么球的表面积为.
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9 . 子集符号“”与不等号“”看起来很相似.“”具有下面的性质:
如果且,那么;
如果且,那么.
试写出“”相应的“性质”,并判断其正确性.
如果且,那么;
如果且,那么.
试写出“”相应的“性质”,并判断其正确性.
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名校
解题方法
10 . 有同学看到式子“”,理解为是偶函数,且根据与的图像间的关系知的图像关于对称;请类比该同学的思路写出一个式子表示__________,的图像关于对称.
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2021-09-18更新
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161次组卷
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2卷引用:河北省张家口市第一中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试题