1 . 在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么如何刻画平面与球的位置关系？能得到哪些结果？
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22-23高二下·四川成都·期中
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解题方法
2 . 如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到
．
(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）；
(2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径．
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22-23高二上·安徽安庆·开学考试
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解题方法
3 . 我们知道，在
中，
，若
为内切圆的圆心，则由
得到，内切圆的半径
.将此结论类比到空间，得到：在三棱锥
中，
，
，则三棱锥内切球的半径
___________ .
中，，若为内切圆的圆心，则由得到，内切圆的半径.将此结论类比到空间，得到：在三棱锥中，，，则三棱锥内切球的半径
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解题方法
4 . 我们知道在平面几何中，已知，
，
，
是垂足，则
．类比可得，已知三棱锥
，
平面
，
平面
，
为垂足，则______ ．
，，，是垂足，则．类比可得，已知三棱锥，平面，平面，为垂足，则
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5 . 在平面向量中有如下定理：已知非零向量
，
，若
，则
(1)拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量
，
，若，则___
请在空格处填上你认为正确的结论
(2)若非零向量
，
，
，
且
，
①利用（1）的结论，求当
时，求
的值，
②利用（1）的结论，求当k为何值时，分别取到最大、最小值？
，，若，则(1)拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量
，，若，则___请在空格处填上你认为正确的结论(2)若非零向量
，，，且，①利用（1）的结论，求当
时，求的值，②利用（1）的结论，求当k为何值时，
分别取到最大、最小值？
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21-22高一·全国·课后作业
6 . 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________ ．
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．
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20-21高一·全国·课后作业
7 . 类比是根据两个对象在某些方面的相同或相似，推出它们在其他方面的相同或相似的一种推理方法.由于类比推理所得结论的真实性并不可靠，因此它不能作为严格的数学推理方法，但它是提出新问题和获得新发现的源泉.平面几何和立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的，因此，在二者之间进行类比是研究它们性质的一种非常有效的方法.为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：
平面 空间
点 → 点或直线
直线 → 直线或平面
平面图形→ 平面图形或立体图形
请你探究：
(1)对勾股定理进行类比，在空间能得到什么结论？
(2)在平面内，不共线的三点确定一个圆.那么在空间有什么类似的命题？
平面 空间
点 → 点或直线
直线 → 直线或平面
平面图形→ 平面图形或立体图形
请你探究：
(1)对勾股定理进行类比，在空间能得到什么结论？
(2)在平面内，不共线的三点确定一个圆.那么在空间有什么类似的命题？
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8 . 二维空间中，圆的一维测度（周长）
，二维测度（面积）
；三维空间中，球的二维测度（表面积）
，三维测度（体积）
．应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度
，则其四维测度
________ ．
，二维测度（面积）；三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）．应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度，则其四维测度
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9 . 类比是研究数学问题的重要方法之一.数学家波利亚曾说：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在平面几何里，研究三角形三边长度间的关系，有勾股定理：“设的两边，则
.”拓展到空间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面，
，
两两互相垂直，则___________ .
的两边，则.”拓展到空间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，则
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2021-07-18更新
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534次组卷
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2卷引用：山东省烟台市招远市招远第一中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
10 . 如图一，在平面几何中，有如下命题“正三角形的高为h，O是内任意一点，则O到三边的距离的和为定值h，当O是的中心时，O到各边的距离均为
”．
证明如下：设正三角形边长为a，高h，O到三边的距离分别
则：
，即：
化简得，
若O是中心，则
即：正三角形中心到各边的距离均为
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（图二）相应的命题，并证明你的结论．
的高为h，O是内任意一点，则O到三边的距离的和为定值h，当O是的中心时，O到各边的距离均为”．证明如下：设正三角形
边长为a，高h，O到三边的距离分别则：
，即：化简得，
若O是
中心，则即：正三角形中心到各边的距离均为
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（图二）相应的命题，并证明你的结论．
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