2 . 对于正整数集合A＝{a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥3），如果去掉其中任意一元素a_i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中，a₁＜a₂＜a₃＜a₄不可能是“平衡集”．

3 . （1）证明：，对所有实数均成立，并求等号成立时的取值范围.
（2）求证：是无理数.

4 . 已知函数，.
(1)用分析法证明：；
(2)证明：.

5 . 设数列的通项公式为．证明：存在无穷多个正整数m，使得是完全平方数．

6 . （1）求证：（其中）.
（2）已知三数成等比数列,且分别为和的等差中项. 求证:.

7 . （1）若是不相等的两个正数，求证：
（2）已知，求证：中至少有一个小于2．

8 . （1）用综合法证明：对于任意，，有；
（2）用分析法证明：对于任意时，有.

9 . 已知，，给定个整点，其中，，.
（1）当时从上面的个整点中任取两个不同的整点，，求的所有可能值；
（2）从上面个整点中任取m个不同的整点，.
（i）证明：存在互不相同的四个整点，，，，满足，，；
（ⅱ）证明：存在互不相同的四个整点，，，，满足，.

10 . 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a_m，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b_i，j≥b_i+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）.
表1

a1，1	a1，2	…	a1，20
a2，1	a2，2	…	a2，20
…	…	…	…
a40，1	a40，2	…	a40，20

表2

b1，1	b1，2	…	b1，20
b2，1	b2，2	…	b2，20
…	…	…	…
b40，1	b40，2	…	b40，20

（1）判断是否存在表1，使得表2中的b_i，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2^﹣j呢？（结论不需要证明）
（2）如果b_40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b_i，j﹣b_i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b_m，n﹣b_m，n+1≥2成立，证明：b_1，1≥78；
（3）若a_i，1+a_i，2+…+a_i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有b_i，1+b_i，2+…+b_i，20≤19成立.