1 . 我们把
（其中
）称为一元
次多项式方程.代数基本定理：任何一元
次复系数多项式方程（即
为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即
，其中
，
为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式
必可分解因式.例如：观察可知，
是方程
的一个根，则
一定是多项式
的一个因式，即
，由待定系数法可知，
.
(1)在复数集内解方程：
；
(2)设
，其中
，且
.
（i）分解因式：
；
（ii）记点
是
的图象与直线
在第一象限内离原点最近的交点.求证：当
时，
.
（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，.(1)在复数集内解方程：
；(2)设
，其中，且.（i）分解因式：
；（ii）记点
是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，.
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2 . 1712年英国数学家布鲁克·泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算，函数拟合，计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
其中
，读作的阶乘.
1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式，即欧拉公式
，特别的欧拉恒等式
被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数（正余弦函数）的关系，利用欧拉公式还可以完成圆的等分，即棣莫弗定理
的应用.
(1)请写出复数
的三角形式，并利用泰勒展开式估算出
的3阶近似值（精确到0.001）；
(2)请根据上述材料证明欧拉公式，并计算
与
；
(3)记
，由棣莫弗定理得
，从而得
，复数
，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若
为64在复数域内的6次方根.求
取值构成的集合，其中
.
阶泰勒展开式为：其中
，读作的阶乘.1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式，即欧拉公式
，特别的欧拉恒等式被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数（正余弦函数）的关系，利用欧拉公式还可以完成圆的等分，即棣莫弗定理的应用.(1)请写出复数
的三角形式，并利用泰勒展开式估算出的3阶近似值（精确到0.001）；(2)请根据上述材料证明欧拉公式，并计算
与；(3)记
，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中.
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3 . （1）对实系数的一元二次方程可以用求根公式求复数范围内的解，在复数范围解方程
；
（2）对一般的实系数一元三次方程
（
），由于总可以通过代换
消去其二次项，就可以变为方程
．在一些数学工具书中，我们可以找到方程
的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J. Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为
，把未知数
写成两数之和
，再把等式
的右边展开，就得到
，即
．将上式与相对照，得到
，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，
，并把
与
看成未知数，解得
于是，方程一个根可以写成
．
阅读以上材料，求解方程
．
；（2）对一般的实系数一元三次方程
（），由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J. Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得于是，方程一个根可以写成．阅读以上材料，求解方程
．
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4 . 已知复数
，则
（ ）
，则（ ）| A．2022 | B．2023 | C． | D． |
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2023-04-19更新
|
1819次组卷
|
9卷引用：江西省峡江中学2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题（甲卷）
江西省峡江中学2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题（甲卷）（已下线）专题03 与复数有关的压轴题-【常考压轴题】（已下线）7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（分层练习）-【上好课】（已下线）第九章 复数（压轴题专练）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）（已下线）7.3复数的三角表示——课后作业（提升版）天域全国名校联盟2023届高三第一次适应性联考数学试题广东五校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题广东省广州市仲元中学2024届高三第一次调研数学试题河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三三模数学试题
23-24高二上·上海·期末
名校
解题方法
5 . 设
（
、
、
）.已知关于的方程
有纯虚数根，则关于的方程
的解的情况，下列描述正确的是（ ）
（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（ ）| A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 |
| B．可能方程有四个实数根的解 |
| C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 |
| D．可能方程没有纯虚数根的解 |
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2023-01-20更新
|
1353次组卷
|
7卷引用：专题7.4 复数的四则运算（重难点题型检测）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）
（已下线）专题7.4 复数的四则运算（重难点题型检测）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）高一复数重难点提高卷-【同步题型讲义】（已下线）第一次月考选择题压轴题十四大题型专练-举一反三系列（已下线）第九章 复数（压轴题专练）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）单元测试B卷——第七章 复数河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（已下线）上海期末数学练习
名校
解题方法
6 . 已知
是关于的实系数一元二次方程.
(1)若是方程的一个根，且
，求实数
的值；
(2)若
是该方程的两个实根，且
，求使
的值为整数的所有的值.
是关于的实系数一元二次方程.(1)若
是方程的一个根，且，求实数的值；(2)若
是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有的值.
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2022-11-29更新
|
724次组卷
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6卷引用：上海市行知中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
上海市行知中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题第9章 复数（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第二册）（已下线）专题03 与复数有关的压轴题-【常考压轴题】（已下线）第九章 复数（压轴题专练）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）（已下线）第七章 本章综合--汇总本章方法【第三课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路浙江省名校协作体2023-2024学年高二上学期开学适应性考试数学试题
7 . 已知
的顶点分别为
，
，
．
(1)若
，
，
，求
的值；
(2)若虚数
是实系数方程
的根，且
是钝角，求的取值范围．
的顶点分别为，，．(1)若
，，，求的值；(2)若虚数
是实系数方程的根，且是钝角，求的取值范围．
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2022-08-19更新
|
653次组卷
|
6卷引用：沪教版(2020) 必修第二册 领航者 第9章 复数 每周一练（2）
20-21高二下·江苏南京·期中
解题方法
8 . 已知方程
，则下列说法正确的是（ ）
，则下列说法正确的是（ ）A．若方程有一根为0，则 且 |
| B．方程可能有两个实数根 |
C． 时，方程可能有纯虚数根 |
D．若方程存在实数根 ，则 或 |
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2021-08-13更新
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2812次组卷
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23卷引用：7.2复数的四则运算C卷
（已下线）7.2复数的四则运算C卷（已下线）第七章 复数（提分小卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（人教A版2019必修第一册）（已下线）专题05 复数的综合运用-2021-2022学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）（已下线）第7章 复数（单元提升卷）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（已下线）第01讲 复数的概念-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）（已下线）第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷）-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）高一复数重难点提高卷-【同步题型讲义】（已下线）模块一 专题三 复数2 (北师大版）（已下线）模块一 专题3 复数3 (北师大版）（已下线）模块一 专题4 复数3 (人教B）（已下线）模块一 专题2 复数3 （人教A）（已下线）模块一 专题4 复数2 （苏教版）（已下线）第七章 复数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（2）（已下线）专题7.8 复数全章综合测试卷（提高篇）-举一反三系列专题07数系的扩充与复数的运算（已下线）第一次月考选择题压轴题十四大题型专练-举一反三系列（已下线）专题03 与复数有关的压轴题-【常考压轴题】（已下线）第7章 复数-《重难点题型·高分突破》（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题11+复数的四则运算（2）-《重难点题型·高分突破》（人教A版2019必修第二册）（已下线）单元测试A卷——第七章 复数单元测试A卷——第七章 复数江苏省南京市2020-2021学年高二下学期四月质量检查数学试题（已下线）复数的概念与运算
20-21高一下·浙江·期末
9 . 设b、c均为实数，关于x的方程
在复数集C上给出下列结论，正确的是（ ）
在复数集C上给出下列结论，正确的是（ ）| A．存在b、c，使得该方程仅有2个共轭虚根 |
| B．存在b、c，使得该方程有4个互不相等的实数根 |
| C．存在b、c，使得该方程有5个互不相等的根 |
| D．存在b、c，使得该方程最多有6个互不相等的根 |
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2021-06-03更新
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630次组卷
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4卷引用：【新东方】高中数学20210527-026【2021】【高一下】
（已下线）【新东方】高中数学20210527-026【2021】【高一下】浙江省北斗联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题（已下线）第02讲 复数的运算-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）浙江省嘉兴市第五高级中学2022-2023学年高一下学期3月测试数学试题
10 . 已知方程
的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为
，则
__________ ．
的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则
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2021-03-25更新
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1708次组卷
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11卷引用：沪教版(2020) 必修第二册 同步跟踪练习 第9章 复数 9.3~9.4 阶段综合训练
沪教版(2020) 必修第二册 同步跟踪练习 第9章 复数 9.3~9.4 阶段综合训练（已下线）7.2复数的四则运算C卷（已下线）专题05 复数压轴题型汇总-2021-2022学年高一《新题速递·数学》（人教A版2019）（已下线）第02讲 复数的运算-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）（已下线）第7章 复数（单元提升卷）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）沪教版(2020) 必修第二册 同步跟踪练习 第9章 9.3~9.4阶段综合训练（已下线）7.2.2 复数的乘、除运算（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）高一复数重难点提高卷-【同步题型讲义】（已下线）第一次月考填空题压轴题十四大题型专练-举一反三系列（已下线）第九章 复数（压轴题专练）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）（已下线）专题12 复数-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
