1 . 在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，M为该曲线上的任意一点．

（1）当时，求M点的极坐标：当M的极角为时，求它的极径；
（2）若过极点的直线与该曲线相交于两点A，B，求证：弦长为定值，并求出这个定值．

2 . 已知椭圆(是参数)，A和B是C上的动点，且满足(O是坐标原点)，以O为极点､以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为.
（1）求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；
（2）利用椭圆C的极坐标方程证明为定值，并求面积的最大值.

3 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线（，，且）与曲线的交点为，，直线与曲线的交点为，．
（1）求曲线的普通方程；
（2）证明：为定值．

4 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线：与曲线的交点为，，直线：与曲线的交点为，．
（1）求曲线的普通方程；
（2）证明：为定值．

5 . 直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）曲线与直线：交于，两点，求；
（2）曲线的参数方程为(，为参数)，当时，若与有两个交点，极坐标分别为，，求的取值范围，并证明.

6 . 直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，曲线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程与的直角坐标方程；
（2）设直线过点交于点（异于原点），射线，分别交于点，，求证：为定值.

7 . 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设原点在圆的内部，直线与圆交于、两点；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和圆的极坐标方程，并求的取值范围；
（2）求证：为定值.

8 . 在直角坐标系中，已知曲线：，将曲线经过伸缩变换得到曲线；以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）若，分别是曲线上的两点，且，求证：为定值.

9 . 已知椭圆（为参数），A，B是C上的动点，且满足（O为坐标原点），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，点D的极坐标为.
（1）求椭圆C的极坐标方程和点D的直角坐标；
（2）利用椭圆C的极坐标方程证明为定值.

10 . 在直角坐标系xoy中，已知曲线C：（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求曲线C的极坐标方程，若A，B为曲线C上的两点，证明当时，定值；
（2）若过点且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．