【推荐1】已知等差数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．

【推荐2】已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.
(1)求的通项公式及其前项和；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设求数列的前项的和.

【推荐3】设等比数列的前项和为，已知N）.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和.

【推荐1】数列的前项之和为，，（为常数）.
（1）当时，求数列的前项之和；
（2）当时，求.

【推荐2】已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列，
(1)求；
(2)设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．

【推荐3】已知数列满足，，.
(1)证明：是等比数列
(2)求数列的前2n项和.

【推荐1】已知是等比数列，是等差数列，，，.
（1）求与的通项公式；
（2）记表示不大于的最大整数，.若将数列的前21项和记为，求的值.

【推荐2】某公司研发了两种具有自主知识产权的操作系统，分别命名为“天下”、“东方”.这两套操作系统均适用于手机、电脑、车联网、物联网等，且较国际同类操作系统更加流畅.
（1）为了解喜欢“天下”系统是否与性别有关，随机调查了名男用户和名女用户，每位用户对“天下”系统给出喜欢或不喜欢的评价，得到下面列联表：

请问：能否有的把握认为男、女用户对“天下”系统的喜欢有差异？
附：.

（2）该公司选定万名用户对“天下”和“东方”操作系统（以下简称“天下”、“东方”）进行测试，每个用户只能从“天下”或“东方”中选择一个使用，每经过一个月后就给用户一次重新选择“天下”或“东方”的机会.这个月选择“天下”的用户在下个月选择“天下”的概率均为，选择“东方”的概率均为，；这个月选择“东方”的用户在下个月选择“天下”的概率均为，选择“东方”的概率均为，.记表示第个月用户选择“天下”的概率，已知，，，，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：数列（）为等比数列；
（ⅲ）预测选择“天下”操作系统的用户数量不超过多少万人.（精确到1万）

【推荐3】等比数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．
（1）求数列的公比q和通项；
（2）若是递增数列，令，求．

【推荐1】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.
(1)求次传球后球在甲手中的概率；
(2)求次传球后球在乙手中的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则，记前n次传球后（即从第1次传球到第次传球后）球在甲手中的次数为，求.

【推荐2】已知递增的等比数列满足，且是和的等差中项.数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

【推荐3】记为正项数列的前项和，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．