1 . 已知，其中.
(1)求的单调区间；
(2)若，证明：当时，.

2 . 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群数量近似呈指数增长；而当种群数量达到某个值后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，逻辑斯谛模型（，，均为正数）可以用来刻画这种现象，其中是初始时刻种群数量，是种群的内秉增长率，是环境容纳量，表示时刻的种群数量.下列说法正确的是（       ）

A．若，则存在，；

B．若，则存在，；

C．若，则对任意，的导函数恒大于；

D．若，则的导函数在有最大值．

3 . 若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．

4 . 已知函数恰有两个零点，则______.

5 . 已知函数．
(1)当时，证明：只有一个零点．
(2)若，求的取值范围．

6 . 已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)证明：．

7 . 已知函数.
(1)不等式在上恒成立，求实数的最小值.
(2)记函数，记在上的最小值为，证明：.

8 . 已知函数的导函数为，且曲线在点处的切线方程为.
(1)证明：当时，；
(2)设有两个极值点.，过点和的直线的斜率为k，证明：.

9 . 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是______．

10 . 已知函数，其中.
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根，，求实数a的取值范围.