23-24高一下·全国·课前预习
1 . 已知两个非零向量，向量
，
注意：公式
与
都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
，| 数量积 | 两个向量的数量积等于它们 |
| 向量垂直 |  |
与都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
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2 . 向量的模：设
，则|
|＝_________ .
，则||＝
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3 . 向量的夹角公式：设两非零向量
，
，
与
的夹角为θ，则
＝_______________ .
注意：由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是
.
，，与的夹角为θ，则＝注意：由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是
.
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23-24高一下·全国·课后作业
4 . 已知向量
，
，若
，则
（ ）
，，若，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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5 . 向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)
_______ ． (2)
_______ ． (3)
_______ ．
设λ，μ为实数，那么：
(1)
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6 . 向量的数乘运算的概念
一般地，规定实数λ与向量
的积是一个_______ ，这种运算叫做向量的数乘，记作_______ ，它的长度与方向规定如下：
（1）
_______ ．
（2）当
时，
的方向与的方向_______ ；当
时，的方向与的方向_______ ；
当
时，
_______
注意：
是实数，是向量，它们的积仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如
均没有意义．
一般地，规定实数λ与向量
的积是一个（1）
（2）当
时，的方向与的方向时，的方向与的方向当
时，注意：
是实数，是向量，它们的积仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如均没有意义．
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7 . 向量
与
共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使_______ ．
与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使
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8 . 向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的_______ ．对于任意向量
，以及任意实数，
，
，恒有
＝_______ ．
，以及任意实数，，，恒有＝
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解题方法
9 . 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
（1）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的___________ ；
（2）设向量
，则
__________ ．
（3）中点坐标公式：若
的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段
的中点P的坐标为(x，y)，则____________ .
（1）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
（2）设向量
，则（3）中点坐标公式：若
的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段的中点P的坐标为(x，y)，则
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10 . 两个向量共线的坐标表示
（1）向量共线的坐标表示
设，则
⇔______________ .
（2）向量共线的坐标表示的推导
①设
，则⇔
(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为⇔______________ ，
即⇔
⇔______________ .
②设
时，⇔_______________ .
综上①②，向量共线的坐标表示为⇔______________ .
（1）向量
共线的坐标表示设
，则⇔（2）向量共线的坐标表示的推导
①设
，则⇔ (λ∈R)．上式若用坐标表示，可写为
⇔即
⇔⇔②设
时，⇔综上①②，向量共线的坐标表示为
⇔
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