1 . 已知椭圆的上、下顶点分别为和，且其离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是直线上的一个动点，直线分别交椭圆于两点（四点互不重合），请判断直线是否恒过定点.若过定点，求出定点的坐标；否则，请说明理由.

2 . 椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围.

3 . 椭圆的左、右顶点分别为，，过点作直线交直线于点，交椭圆于另一点．
（1）求该椭圆的离心率的取值范围；
（2）若该椭圆的长轴长为，证明：（为坐标原点）．

4 . 如图，三棱柱的侧面是边长为的菱形，，且.

(1)求证: ；
(2)若，当二面角为直二面角时，求三棱锥的体积.